Un estimador de error residual semiexplícito en cantidades de interés para un problema mecánico lineal

Abstract

El objetivo de este trabajo es definir un método semiexplícito para estimar el error en cantidades de interés derivado de la resolución por elementos finitos de un problema de elasticidad lineal. En este proceso, se identifican dos etapas: una estimación implícita del error del problema adjunto y otra, explícita, asociada al problema directo (primal). La parte implícita de la estimación requiere dos fases, cada una de las cuales consiste en hacer proyecciones sobre espacios de funciones burbuja. Estas proyecciones sobre espacios burbuja comportan operaciones locales y, por tanto, son de bajo coste. Las dos fases se encargan de estimar el error interior en los elementos y la contribución de las aristas (asociada a los saltos de tensiones normales). El carácter implícito de esta parte de la estimación se aplica a la resolución de los problemas locales en espacios de dimensión pequeña. Se analiza también la posibilidad de escoger espacios de funciones burbuja locales de una sola dimensión (fijando la forma de la burbuja y determinando únicamente el coeficiente escalar que la multiplica), lo cual, en la práctica, convierte esta fase en explícita. La parte explícita de la estimación inyecta en el residuo débil primal la aproximación del error adjunto estimada en la primera fase. Esta estrategia es similar a la empleada en el método DWR, pero utilizando una formulación débil del residuo e inyectando un error dual en vez de utilizar una solución posprocesada. La metodología propuesta se valida con su aplicación a un ejemplo numérico.

We aim at defining a semi-explicit approach to estimate the error in quantities of interest associated with the Finite Element solution of a linear elasticity problem. The advocated procedure is split in two parts, an implicit error estimate for the adjoint problem and an explicit estimate assessing the error in the direct (primal) problem. The implicit part of the estimate (on the adjoint problem) embraces two phases, each consisting in projecting the error on “bubble” functional spaces. The projections are low-cost operations due to their local nature. The two phases account the error in the interior of the elements and the contribution of the elementary edges (associated with the tractions jump). The implicit character of this part is provided by the solution of the local problems in low-dimensional functional spaces. We also analyze the particular case of selecting one-dimensional functional spaces (setting the shape of the bubble and computing a scalar coefficient), which, in practice, make this part of the process explicit. The explicit part of the estimate consists in injecting in the weak primal residual the approximation of the adjoint error obtained in the first phase. This approach is similar to the DWR method but using a weak formulation of the residual and injecting an implicitly estimated adjoint error rather than a post-processed solution. The proposed methodology is validated in a numerical example