Problemas de contorno discretos

Abstract

En este trabajo se ha desarrollado un cálculo vectorial sobre estructuras discretas, análogo al de los modelos continuos. Para ello se ha considerado como espacio subyacente un multigrafo finito o variedad discreta y se ha definido el concepto de espacio tangente a cada vértice. A partir de esta noción se han definido los distintos tipos de campos sobre la variedad y se ha introducido la estructura de variedad Riemanniana discreta, lo que ha posibilitado construir los operadores gradiente, divergencia y Laplaciano. La consideración de métricas generales sobre los multigrafos tiene consecuencias desde el punto de vista de las aplicaciones. Los esquemas en diferencias finitas para la resolución de problemas de contorno elípticos pueden ser vistos como problemas de contorno discretos relativos a Laplacianos asociados a determinadas métricas. A modo de ejemplo, en este trabajo se obtienen las métricas que corresponden a los esquemas en diferencias consistentes con el operador de Laplace sobre retículas uniformes.<br/><br/> Se ha desarrollado un cálculo integral sobre subvariedades discretas que incluye los análogos de las Identidades de Green. La obtención de estos teoremas integrales ha permitido plantear problemas de contorno autoadjuntos, que son la contrapartida discreta de problemas de contorno elípticos de segundo orden con condiciones de contorno mixtas. Se ha realizado un análisis de existencia y de unicidad de soluciones de tales problemas y se ha abordado también el estudio de los operadores integrales y sus correspondientes núcleos, asociados a cada uno de los problemas de contorno semihomogéneos tratados. <br/><br/> El hecho de que en un espacio finito todo operador lineal pueda interpretarse como un operador integral, nos ha permitido entender los operadores en diferencias que determinan los problemas de contorno como núcleos sobre el espacio de vértices de la variedad. Hemos demostrado que desde el punto de vista de la Teoría del Potencial estos núcleos satisfacen los principios de energía y del máximo, que son suficientes para que tenga sentido el problema de equilibrio sobre cada subconjunto. Además, las peculiaridades de estos núcleos nos han permitido probar que el soporte de la medida de equilibrio de cada subconjunto coincide con él. Esta propiedad conduce a expresar la función de Green de cada subconjunto en términos de medidas de equilibrio. <br/><br/>Finalmente, se ha generalizado el concepto de resistencia efectiva entre vértices de una variedad discreta y se ha demostrado que se satisfacen las mismas propiedades que en el caso clásico. En particular, se ha obtenido una expresión sencilla de la resistencia efectiva en términos de medidas de equilibrio.

In this work we have developed a vector difference calculus on discrete structures, analogous to vector differential calculus on continuous models. To this end, we consider a finite multigraph or discrete manifold as the underlying space and we define the concept of tangent space at a vertex. From this concept we define the different types of fields on a manifold and we introduce the discrete Riemannian structure, which has enable us to construct the gradient, divergence and Laplace operators. The consideration of general metrics on discrete manifolds has some consequences from the application point of view. The finite difference schemes for the resolution of elliptic boundary value problems can be seen as discrete boundary value problems with respect to the Laplace operator associated to specific metrics. As an example, in this work we obtain the metrics that correspond to consistent discrete difference schemes for the Laplace operator on uniform grids.<br/><br/>We also have developed an integral calculus on discrete manifolds that includes the analogous of the Green Identities. The obtained integral theorems allow us to raise adjoint boundary value problems, which are the discrete counterpart of second order elliptic boundary value problems with mixed boundary conditions. We have tackled an analysis of existence and uniqueness of solutions of such a problems. In addition, we have studied the integral operators and their corresponding kernels, associated with each one of the considered semihomogeneuos boundary value problems. <br/><br/>The fact that in a finite space a linear operator could be considered as an integral operator, has allow us to understand the difference operators determined by the boundary value problems as kernels on the manifold vertex space. We have proved that in the context of Potential Theory the above kernels verify the energy and maximum principles, that are enough to the resolution of the equilibrium problem on every subset. Moreover, the peculiarities of these kernels imply that the support of the equilibrium measure of a set coincides with the own set. This property leads to express the Green function of every subset in terms of equilibrium measures.<br/><br/>Finally, we have generalized the concept of effective resistance between vertices of a discrete manifold and we have proved that the properties verified in the standard case are still in force. In particular, we have obtained a simple expression of the effective resistance in terms of equilibrium measures.