Combinatorial Game Theory: The Dots-and-Boxes Game

Abstract

La Teoria de Jocs Combinatoris és una branca de la Matemàtica Aplicada que estudia jocs de dos jugadors amb informació perfecta i sense elements d'atzar. Molts d'aquests jocs es descomponen de tal manera que podem determinar el guanyador d'una partida a partir dels seus components. Tanmateix això passa quan les regles del joc inclouen que el perdedor de la partida es aquell jugador que no pot moure en el seu torn. Aquest no és el cas en molts jocs clàssics, com els escacs, el go o el Dots-and-Boxes. Aquest darrer és un conegut joc, els jugadors del qual intenten capturar més caselles que el seu contrincant en una graella quadriculada. Considerem el joc anomenat Nimstring, que te gairebé les mateixes regles que Dots-and-Boxes, amb l'única diferència que el guanyador és aquell que deixa el contrincant sense jugada possible, de manera que podem aplicar la teoria de jocs combinatoris imparcials. Tot i que alterant la condició de victòria obtenim un joc completament diferent, parafrasejant Berlekamp, Conway i Guy, "no podem saber-ho tot sobre Dots-and-Boxes sense saber-ho tot sobre Nimstring". L'objectiu d'aquest projecte és presentar alguns resultats referits a Dots-and-Boxes i Nim- string, com guanyar en cadascun d'ells, i quina relació hi ha entre ambdòs, omplint algunes llacunes i completant algunes demostracions que només apareixen presentades de manera informal en la literatura existent.