Teorema de Pick

Abstract

El teorema de Pick proporciona una fórmula per a calcular l'àrea d'un polígon simple reticular, es a dir, amb els seus vèrtexs sobre punts de coordenades enteres. En aquest treball s'enuncia el teorema i es donen quatre demostracions diferents: la demostració clàssica, la demostració utilitzant la formula d'Euler, una demostració que utilitza el teorema de Minkowski i una ultima basada en la teoria de la difusió del calor. Desprès es donen dues generalitzacions del teorema; una per polígons amb forats i una per a polígons en un pla de l'espai. Finalment s'estudia la connexió del teorema amb les seqüències de Farey, per acabar donant dues aplicacions; una relacionada amb les sumes de Dedekind i una altre de curiosa, els quadrats màgics.