Equacions de difusió no local: laplacià fraccionari i operadors convolutius

Abstract

L objectiu d aquest treball de fi de grau és estudiar dues generalitzacions de l equació de la calor, la primera enlloc d un laplacià té un laplacià fraccionari i la segona un operador de la forma $Lu = J ∗ u − u$, i determinar certes hipòtesis sota les quals les seves solucions es comporten com les de l equació clàssica de la calor. Obtenim els dos operadors generalitzant el laplacià i estudiem algunes de les seves propietats, que aplicarem en els capítols principals del treball. El resultat més important parla del comportament asimptòtic de les solucions del model convolutiu, i afirma que la seva decaiguda és la mateixa que la de les solucions de l equació de difusió fraccionària. També estudiem la Γ-convergència dels funcionals que ens defineixen aquestes equacions per tal de demostrar que el seu límit coincideix en alguns casos.