The Schrödinger equation gives us a time evolution of the wave function of a certain quantum system, thus we obtain a mathematical description of this system. This project focuses on solving it numerically, using the exact diagonalization method. We present an algorithm to solve the time-independent version of the equation efficiently for a particle in a box with different boundary conditions, and a second program that expands the initial wave function onto the basis formed from the eigenfunctions of the Hamiltonian to obtain the time evolution of the wave function. Using these two programs, we ran several simulations to obtain the properties of a quantum system exposed to an external potential with a fractal shape. The selected two-dimensional fractal was the Sierpinski carpet. An analysis of the static and dynamic properties was performed, and we corroborated the existence of an exponential scaling law between the ground-state energy and the iteration of the fractal. We also verified the expected diffusive behavior of the mean squared displacement of a particle under this fractal shaped potential. The results obtained were not known before and can be useful for ongoing experiments of ultracold atoms. Furthermore, our work can be extended by using the presented programs to perform more experiments with different parameters or different external potential shapes. The program can also be fine-tuned to solve other kind of systems.
L'equació de Schrödinger ens dona una evolució temporal de la funció d'ona d'un sistema quàntic concret, la qual cosa ens permet obtenir una descripció matemàtica d'aquest sistema. Aquest projecte es centra a solucionar aquesta equació de forma numèrica, utilitzant el mètode de diagonalització exacta. Presentem un algoritme per resoldre la versió independent del temps de l'equació, de forma eficient, per a una partícula dins una caixa, amb diferents condicions de contorn. A part, un segon programa que expandeix la funció d'ona inicial sobre la base formada a partir de les funcions pròpies del Hamiltonià, per obtenir l'evolució temporal de la funció d'ona. Utilitzant aquests programes, hem executat diverses simulacions per obtenir les propietats d'un sistema quàntic exposat a un potencial extern amb forma fractal. La fractal de dues dimensions seleccionada per l'estudi és la catifa de Sierpinski. S'ha elaborat una anàlisi de les propietats estàtiques i dinàmiques, i hem corroborat l'existència d'una llei d'escala exponencial entre l'energia de l'estat fonamental i la iteració de la fractal. També s'ha verificat el comportament difusiu esperat del desplaçament quadrat mitjà d'una partícula sota aquest potencial en forma de fractal. Els resultats obtinguts no eren coneguts anteriorment, i poden ser útils per experiments en curs sobre àtoms ultra freds. A més, el nostre treball es pot ampliar utilitzant els programes presentats per realitzar més experiments amb diferents paràmetres o diferents formes de potencial extern. El programa també es pot ajustar per resoldre altres tipus de sistemes.
