Numerical modeling of cracking along non-preestablished paths

Abstract

The general objective of this thesis is the numerical representation of discrete cracks and their propagation using concepts of Configurational Mechanics, in such a way that their trajectory really corresponds to an energy minimum and is not predetermined by the initial mesh lines. As the first step, two existing formulations for discrete cracks and discontinuities of pre-determined orientation are revisited: the traditional zero-thickness interface elements (FEM+z), and the more recently developed eXtended Finite Element Method (XFEM). The XFEM is studied in detail, a formulation is developed and implemented in a Matlab code, and some examples of validation are also run. Some theoretical aspects are investigated such as the equivalence with the traditional interface elements, which is proven to hold under certain conditions, or the reason for pathological jumps observed in traditional implementations of the method using “natural interpolation”, which may be attributed to lack of conformity of interpolation functions between the two sides of the original element, along the intersection with the discontinuity line. Compared to existing literature, the formulation developed and implemented exhibits two non-standard aspects: a) the re-interpolation (or “two-step” interpolation) of the variables from the nodes to the discontinuity intersection points first, and from there to the interior points of the subdomains (instead of the traditional direct interpolation by means of the original interpolation functions of the element), and b) the use of additional degrees of freedom of the “overhang” or “cantilever” type (value that the nodal displacements would have on the other side of the discontinuity in the absence of jump) instead of the traditional values of the displacement “jumps” themselves. Additional new developments relate to practical aspects of implementation such as treatment of nodes lying too close to the discontinuity, which are moved onto the discontinuity itself in order to eliminate numerical problems. The second part of the thesis focuses on the use of Configurational Mechanics theory to modify the orientation of the cracks, in order to ensure that the trajectory obtained corresponds to an energy minimum and minimize its dependency on the original mesh layout. Configurational forces are defined as the energy gradients relative to the nodal position of the mesh nodes. Therefore, reorienting the fractures in the direction indicated by these forces should minimize the elastic global energy and fracture trajectories should be reproduced more realistically. Based on this idea, an additional “configurational” loop is added to the standard scheme of incremental-iterative process for “deformational” non-linear structural analysis. The change of nodal coordinates at each configurational iteration is applied selectively; only fracture tip nodes of the interface elements that begin to open are allowed to change their configurational position. FEM+z non-linear model incorporates the non-linear constitutive law for discrete cracks and a new iterative strategy of the indirect displacement control (IDC) type based on fracture dissipation has been developed. Additionally, mesh relaxation techniques and nodal variable transport have been also implemented to ensure mesh quality and consistent results. Finally, implementation in Matlab code and verification examples has let to very satisfactory results; mesh lines do succeed in reorienting themselves during configurational iterations, so that the developing crack progressively matches the known physical trajectory in all the examples presented.

L'objectiu general d'aquesta tesi és la descripció numèrica de discontinuïtats discretes i la seva propagació utilitzant els conceptes que ofereix la Mecànica Configuracional, de manera que la seva trajectòria realment correspongui a un mínim d'energia i no estigui predeterminada per les línies de la malla inicial. Com a primer pas, es revisen dues formulacions existents per a fractures amb una orientació predeterminada: els elements junta tradicionals de gruix zero (FEM+z) i el eXtended Finite Element Method (XFEM) desenvolupat recentment. En primer lloc s’estudia XFEM, es desenvolupa i implementa la seva formulació en un codi Matlab, i es realitzen alguns exemples de validació. S'investiguen aspectes teòrics, com l'equivalència amb els elements junta tradicionals de gruix zero, la qual es demostra per a certes condicions, o la raó dels salts patològics observats en les implementacions tradicionals del mètode mitjançant la "interpolació natural", que pot atribuir-se a la manca de conformitat de les funcions d'interpolació entre els dos costats de l'element original, al llarg de la intersecció amb la línia de discontinuïtat. En comparació amb la literatura existent, la formulació desenvolupada presenta dos aspectes no estàndards: a) la re-interpolació (o "interpolació en dos passos") de les variables dels nodes als punts d'intersecció de la discontinuïtat en primer lloc, i d'aquí als punts interiors dels subdominis (en comptes de la interpolació directa tradicional mitjançant les funcions d'interpolació originals de l'element), i b) l'ús de graus de llibertat addicionals del tipus "voladís" o "cantilever" (valor que tindrien els desplaçaments nodals a l'altre costat de la discontinuïtat en absència de salt) en comptes dels valors tradicionals ("salts"). A més a més, s’han realitzat altres desenvolupaments d’aspecte pràctic en la implementació, com el tractament de nodes molt propers a la discontinuïtat, per tal d'eliminar problemes numèrics aquests es traslladen fent-los coincidir amb la discontinuïtat. La segona part de la tesi es centra en l'ús de la teoria de la Mecànica configuracional per a modificar l'orientació de les fractures per tal de garantir que la trajectòria obtinguda correspongui a un mínim d'energia i es minimitzi la dependència amb la malla original. Les forces configuracionals es defineixen com els gradients d'energia en relació a la posició nodal dels nodes de malla. Per tant, reorientar les fractures en la direcció indicada per aquestes forces ha de minimitzar l'energia global elàstica i les trajectòries de fractura s'han de reproduir de manera més realista. En base a aquesta idea, s’afegeix un llaç "configuracional" addicional a l'esquema estàndard del procés iteratiu-incremental. El canvi de coordenades nodals en cada iteració configuracional s'aplica selectivament; només els nodes de la punta de fractura dels elements junta que comencen a obrir poden canviar la seva posició configuracional. El model no lineal FEM+z incorpora la llei constitutiva no lineal per a fractures discretes, per a millorar l’estratègia d’avanç s'ha desenvolupat una nova estratègia iterativa del tipus Indirect Displacement Control (IDC) basada en la dissipació de la fractura. A més a més, s'han aplicat tècniques de relaxació de malla i transport de variable nodal per a assegurar la qualitat de la malla i obtenir resultats coherents. Finalment, la implementació en el codi de Matlab i els exemples de verificació han donat resultats molt satisfactoris; les línies de malla aconsegueixen reorientar-se durant les iteracions configuracionals, de manera que la fractura propaga progressivament coincidint amb la trajectòria física coneguda en tots els exemples presentats.