Elementos finitos em formulação mista de mínimos quadrados para a simulação da convecção-difusão em regime transiente

Abstract

Um esquema de elementos finitos mistos de tipo mínimos quadrados é estudado para resolver as equações da convecção-difusão transientes expressas em função tanto do campo incógnito primário como do seu fluxo, incorporando ou não um termo reativo. Uma vez efetuada uma discretização temporal à la Crank-Nicholson, o sistema de equações resultante permite uma aproximação estável desses 2 campos, com elementos finitos contínuos de Lagrange clássicos de grau arbitrário em geometria de tipo simplex ou não, em dimensão espacial qualquer. O esquema é convergente em espaço no sentido da média quadrática no que tange ao campo incógnito primário, a seu gradiente, à variável de fluxo e à divergência desta última, e no tempo num sentido apropriado para cada um desses campos. Os resultados numéricos atestam o bom desempenho do esquema, para quaisquer números de Péclet, confirmando as previsões teóricas, pelo menos no caso de camadas limite estreitas em que o método se mostra fracassado. A técnica é também comparada com outros métodos para resolver essas equações, incluindo 2 propostos recentemente pelo primeiro autor et al.

A mixed least-squares finite element scheme designed for solving the transient convection-diffusion equations expressed in terms of both the primal unknown and its flux, incorporating or not a reaction term, is studied. Once a time discretization of the Crank-Nicholson type is performed, the resulting system of equations allows for a stable approximation of both fields, by means of classical Lagrange continuous piecewise polynomial functions of arbitrary degree, in both simplicial and non-simplicial geometry, in any space dimension. The scheme is also convergent in space in the mean-square sense as far as the primal unknown field, its gradient, the flux variable and its divergence are concerned, and in time in an appropriate sense for each one of these four fields. Numerical results certify that the scheme performs well for any Péclet number, thereby allowing to confirm theoretical predictions, at least in the case where there is no narrow boundary layer. In the latter case however the method fails to produce reliable results. The technique is also compared with three existing methods to solve the convection-diffusion equations in the transient case. These include two recent ones proposed by the first author and collaborators.