Des dels inicis de la revolució industrial fins a les més recents fàbriques, l’optimització de processos ha estat, és i serà un dels objectius imprescindibles per al bon funcionament de les empreses i per assolir l’èxit. Tots i cada un dels processos implicats en qualsevol empresa o fàbrica requereix ésser optimitzat per tal d’aprofitar al màxim els recursos i extreure el major benefici amb el mínim possible d’aquests recursos. Avui en dia, un dels procediments que més preocupa a les empreses és l’aprofitament i extracció de recursos ja que, degut al gran creixement
industrial i de la població de les darreres dècades, la seva perdurabilitat no està definida. Per aquest motiu, l’optimització dels beneficis que se n’obtenen de l’extracció d’aquests recursos és un tema de gran interès per a tota la indústria.
El present projecte pretén trobar el control òptim de l’extracció de recursos parcialment duradors mitjançant la utilització d’un principi matemàtic: el Principi del Màxim de Pontryagin. Gràcies a aquest principi, es podran obtenir les variables de control del sistema, que en aquest
cas corresponen a la velocitat d’extracció del producte, que maximitzen el benefici final del procés. L’escenari sobre el qual es situarà serà una mina, situada en un mercat monopolístic, en la qual hi roman un cert producte o recurs, i el procediment que s’analitza consistirà en extreure aquest recurs, portar-ho al mercat en forma d’estoc i obtenir-ne benefici.
L’estructura del treball presenta dos gran blocs: l’anàlisi en temps continu i l’anàlisi en temps discret. En l’estudi del control òptim es començarà desenvolupant el Principi del Màxim de Pontryagin i es descriurà les dinàmiques dels estats i dels co-estats. Primer, s’analitzarà el control òptim d’una extracció de temps infinit. Després, s’estudiarà el cas de temps finit. En aquest cas, serà necessària l’efectuació de una hipòtesi sobre el possible control òptim de l’extracció.
En el segon gran bloc, el de temps discret, es començarà també per un desenvolupament del Principi del Màxim de Pontryagin en versió discreta. Aleshores, es discretitzaran les variables que calgui discretitzar i procedirà a l’execució de simulacions numèriques. Per a tal d’efectuar
aquestes simulacions s’utilitzarà una eina de simulació de problemes de control òptim, Microsoft Excel Solver, que permetrà trobar les variables de control òptimes i així maximitzar el benefici. Es realitzaran 29 simulacions i, finalment, es podran extreure les conclusions necessàries de temps discret que permetin verificar els plantejaments en temps continu.
Els resultats principals del treball són, per al temps continu, la determinació d’una clara conclusió per extraccions de temps infinit i solucions parcials per extraccions de temps finit. No obstant, per temps discret, es corroboren les solucions parcials de temps continu amb evidències numèriques, així com es determinen plantejaments plausibles per temps continu. Finalment, es deixa la porta oberta per futures investigacions i projectes sobre algorismes que usin el Principi del Màxim de Pontryagin i solucionin els casos de múltiples solucions òptimes.
