Evaluación de algoritmos de multiplicación de matrices dispersas portados a un entorno GPGPU

Abstract

Actualmente la mayoría de estudios científicos son llevados a cabo haciendo uso de simulaciones. Las simulaciones presentan ventajas como: la opción de repetir los experimentos todas las veces se quiera, poder cambiar parámetros físicos y la más importante resultan más económicas que la experimentación real. Para realizar estas simulaciones se debe discretizar el problema haciendo uso de una malla de puntos que simule el objeto de estudio. En la figura 1 podemos ver un ejemplo de la simulación de una mandíbula [1]. Con las relaciones de adyacencia impuestas en cada punto, se relaciona el valor de un conjunto de variables incógnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad [2]. Este conjunto de relaciones se puede representar como un sistema de ecuaciones lineales. El número de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al número de nodos. Para resolver los sistemas de ecuaciones se usan matrices. Estas matrices resultan ser de un tamaño enorme, algunas superando los cientos de millones de filas [5], debido a que tienen tantas filas como puntos tiene el mallado. Además, la gran mayoría de los elementos de estas matrices son ceros. Estas matrices de gran tamaño donde la mayoría de sus elementos son nulos son conocidas como matrices dispersas. La operación producto matriz dispersa vector (SpMV) es la operación fundamental en este cálculo. Ejecutándose de forma iterativa hasta llegar a una solución. Como resultado, las simulaciones tienen su rendimiento altamente ligado al rendimiento de esta operación. El problema de esta operación es que la gran mayoría de las operaciones son inútiles, ya que casi todos los elementos son ceros ( 99% elementos nulos). La operación básica del producto SpMV se muestra en la figura 2. En ella solo hay 2 operaciones aritméticas por cada 3 accesos a memoria. Además, estos accesos debidos a la gran dispersad de las matrices son accesos irregulares. La combinación de muchos accesos y accesos irregulares hace que la operación este limitada por ancho de banda a memoria. Una solución al problema de la gran cantidad de cálculos inútiles es la compactación de las matrices en formatos donde no se guarden los ceros. Además, algunos de ellos intentan regularizar los accesos a memoria de la matriz. Durante los últimos años se ha popularizado el uso de las tarjetas gráficas como unidad de cálculo científico. Las tarjetas gráficas poseen una arquitectura paralela que encaja a la perfección en muchos problemas científicos con un gran coste computacional o de ancho de banda a memoria. Su arquitectura está especialmente diseñada para ejecutar problemas con un alto grado de paralelismo. En las aplicaciones de cálculo científico es habitual encontrar este tipo de paralelismo. La utilización de tarjetas gráficas se ha mostrado como una solución para mejorar el rendimiento de la operación SpMV. El gran ancho de banda de las GPUs encaja a la perfección con las necesidades de este problema. En este proyecto se analizan los rendimientos de varios formatos de representación de matrices dispersas portados a un entorno GPU.