Motions and stresses of projected polyhedra

Abstract

L’utilisation de mouvements infinitésimaux de structures à panneaux permet d’apporter une nouvelle preuve au théorème de Clerk Maxwell affirmant que la projection d’un polyèdre de I’espace à 3 dimensions donne un diagramme plane de lignes et de points qui forme une charpente contrainte à barres et à joints. Les méthodes tendent à prouver une réciproque simple pour les charpentes à graphes planaires - et une réciproque générale pour ,les autres polyèdres soumis à des conditions appropriées de contraintes. La méthode utilisée pour la preuve prouit aussi une correspondance entre la forme de la contrainte sur une bar (tension/compression) et la forme de I’angle diedrique (concave/convexe). Les résultats ont une applicatioin potentielle à la fois sur I’étude des charpentes et sur I’analyse de la scène (la reconnaissance d’images de polyèdres).

Maxwell’s theorem that the projection of an oriented polyhedron from 3-space gives a plane diagram of lines and points which forms a stressed bar and joint framework. The methods extend to prove a simple converse for frameworks with planar graphs - and a general converse for other polyhedra under appropriate conditions on the stress. The method of proof also yields a correspondence between the form of the stress on a bar (tension/compression) and the form of the dihedral angle (concave/convex). The results have potential application both to the study of frameworks and to scene analysis (the recognition of pictures of polyhedra).