Tilings, quasicrystals, and Hilbert's 18th problem

Abstract

Le 18e problème de Hilbert est constitué de trois questions vaguement liées : Le nombre de groupes a région fondamentale (bornée) dans E mest-il fini ? Existet-il un pavage sur les paves duquel aucun groupe n’agisse de façon transitive ? Quels sont les juxtapositions les plus denses de corps congruents dans E3 ? Ces questions ont orienté la cristallographie mathématique vers de nouvell es directions et ont été excessivement efficaces: de nos jours, les quasicristaux posent des problèmes mathématiques qui se situent précisément dans les champs indiqués par Hilbert. En effet, plusieurs des nouveaux problèmes sont des reformulations de ceux de Hilbert. On a fait de considérables progrès dans les demières années, mais une question clé - comment les parties du problème sont liées entre elles - n’e st pas encore complètement comprise.

Hilbert’s 18th problem consisted of three loosely related questions: Is the number of groups in En with (bounded) fundamental region finite? Does there exist a tiling on whose tiles no group acts transitively? What are the densest packings of congruent bodies in E3? These questions pointed mathematical crystallography in new directions and have been unreasonably effective: in our time quasicrystals pose mathematical problems in precisely the areas indicated by Hilbert. Indeed, many of the new problems are reformulations of Hilbert’s. Considerable progress has been made in the last few years, but a key issue-how the parts of the problem are related to one another-is still not completely understood.