La littérature d’ingénierie renferme bon nombre de techniques pour construire de grandes charpentes statiquement rigides à partir de plus petites. Malheureusement, certains de ces principes sont erronés, et d’autres sont incertains. De telles techniques sont devenues des outils inductifs importants dans les travaux mathématiques récents sur les charpentes. Cet article propose un nouvel algorithme qui générerait les graphes de toutes les charpentes isostatiques (statiquement rigides et minimales) dans l’espace, en fournissant des démonstrations de plusieurs de ces techniques et des contre-exemples des techniques erronées, et en mettant en évidence les conjectures qui couvriraient toutes les charpentes spatiales.
Puisque le problème spatial est complexe et qu’il n’est pas encore complètement résolu, l’article débute par un ensemble complet de regles à suivre pour générer les graphes de toutes les charpentes isostatiques en plan. De tels graphes sont générés à partir d’une seule arête selon une suite de Henneberg de graphes qui croissent par l’addition d’un sommet 2-valent et la substitution d’un sommet 3-valent à une arête. Dans l’espace, les principes valides permettent d’abord l’addition d’un sommet 3-valent et la substitution d’un sommet 4-valent à une arête. Une récente conjecture de Graver suggère une description complète du cas des sommets 5-valents - (i) deux arêtes non adjacentes devraient être échangées pour un sommet 5-valent et (ii) un sommet 5-valent devrait être substitué simultanément à deux paires d’arêtes adjacentes bien choisies sur deux graphes autrement identiques. Tout graphe d’une charpente isostatique dans l’espace est généré par un arbre de Henneberg de telles opérations, et nous conjecturons que seuls de tels graphes sont produits. Les résultats spatiaux connus sont illustrés par une demonstration combinatoire d’un théorème de Gluck stipulant que tous les graphes triangulés sur la
sphère produisent des charpentes isostatiques dans l’espace.
The engineering literature contains a number of techniques for building up large statically rigid frameworks from smaller ones. Unfortunately, some of these principles are incorrect, others are uncertain. Such techniques have become important inductive tools in the recent mathematical work on frameworks. This paper will
propose an algorithm for generating the graphs of all isostatic (minimal statically rigid) frameworks in space, proving many of the techniques, giving counterexamples to incorrect techniques, and highlighting the conjectures which would cover all spatial frameworks. Because the spatial problem is complex, and not completely solved, the paper begins with a complete set of rules for generating the graphs of all isostatic
frameworks in the plane. Such graphs are generated from a single edge as a Henneberg sequence of graphs which grow by the addition of a 2-valent vertex and the exchange of an edge for a 3-valent vertex. In space th valid principles begin with the addition of 3-valent vertices and the exchange of an edge for a 4-valent vertex. A
recent conjecture of Graver suggests a full descriptio or 5-valent vertices - (i) two non-adjacent edges should be exchanged for a 5-valent vertex and (ii) a 5-valent vertex should simultaneously replace two appropriate pairs of adjacent edges from two otherwise identical graphs. Every graph of an isostatic framework in space is
generated by a Henneberg tree of such steps, and we conjecture that only suchgraphs are produced. The known spatial results are illustrated with a combinatorial proof of a theorem of Gluck that all graphs of triangulated spheres give isostatic frameworks in space.
