No anul·lació de funcions L en valors crítics i resultats d'equidistribució en aritmètica

Abstract

L'objectiu del treball és revisar els principals resultats d'equidistribució en aritmètica. En primer terme es presenten i demostren el Teorema de densitat de Dirichlet i el Teorema de densitat de Chebotarev. La part central del treball és la conjectura de Sato-Tate. Per presentar aquesta conjectura es desenvolupa la teoria de Serre, que ens serveix per unificar el teorema de Chebotarev i la conjectura de Sato-Tate. Una versió parcial de la conjectura de Sato-Tate va ser resolta recentment, utilitzant resultats molt avançats de teoria de nombres, per Richard Taylor. Una de les tasques del treball consisteix a esboçar aquesta demostració. Mitjançant la teoria de Serre generalitzem la conjectura de Sato-Tate per corbes de gènere superior. A partir d'aquesta generalització reinterpretem els resultats per a corbes el·líptiques amb CM. Per finalitzar l'estudi, considerem corbes de gènere 2, de les quals s'ha suggerit una possible solució de la conjectura de Sato-Tate generalitzada. Realitzant un estudi sobre aquesta solució podrem oferir resultats per tal d'aportar més informació sobre la resolució de conjectura.. Estudiar com la no anul·lació de funcions L permet la demostració de resultats aritmetics, com per exemple el teorema de densitat de Chebotarev i la conjectura de Soto-Tate.