Rational parametrization of Q-curves: Sage implementatio

Abstract

En aquest treball donarem una parametrització d'un tipus especial de corbes algebràiques anomenades "Q-corbes".

Primer farem una introducció per familiartizar al lector amb conceptes bàsics i resultats previs, i després continuarem amb un resum de l'algorisme exposat a l'article de Josep Gonzálex i Joan-Carles Lario "Rational and Elliptic Parametrizations of Q-Curves".

Finalment donarem els codis en Sage d'una possible implementació de l'algorisme acompanyats d'alguns exemples.. L'objectiu del treball és trobar parametritzacions explícites de Q-corbes en tots els casos que la corba modular que les parametritza tingui gènere zero, seguint els resultats de l'article de González-Lario que s'adjunta.Trobar aquestes parametritzacions requereix una feina computacional important treballant en anells de sèries formals. Els resultats s'han d'introduir en algun software tipus Sage o Magma que permeti usar-los en el futur a la comunitat matemàtica interessada.

Elliptic curves over C are a very interesting branch of study in mathematics. It combines elds that apparently have few things in common such as algebraic geome- try, topology, complex analysis, number theory and abstract algebra. This makes that for any object of study we can adopt very di erent points of view depending on from which branch of mathematics are we doing the approach. In this work we aim to perform the algorithm exposed in Josep Gonzalez and Joan- Carles Lario's article Rational and Elliptic Parametrizations of Q-curves [1], in the rational case. This article shows a way to nd a parametrization of a special type of elliptic curves called Q-curves, and even though this parametrization is described, it is still not implemented in Sage. To perform such a task, it will be necessary to become familiar with some new mathematical concepts that will be explained in the rst section. Our work is divided in three main parts: We begin introducing the basic concepts and properties. Then we continue explaning the algorithm and commenting step by step how can it be implemented using the software Sage. We will end giving the code of a program in Sage that performs such algorithm along with some input- output examples.