El problema grau-nombre de vèrtexs en digrafs de doble pas amb diàmetre unilateral

Abstract

Generally speaking, the aim of this work is to study the (Δ,N) problem (or the degree-number of vertices problem) for double-step digraphs. A digraph is a network consisting of vertices and directed edges (called arcs). In the case of a graph, the edges have no direction. A double-step digraph consists of a set of vertices and arcs of the forms (i ,i +a) and (i ,i+b) , with a and b positive integers called “steps”, that is, there exist arcs from the vertex i to the vertices i+a and i+b (all the operations are modulo ). This digraph is denoted by G (N ; a,b) . The diameter of a graph is the shortest distance between two of the farthest vertices. In the diameter of a digraph, we must consider that the edges have directions. The unilateral distance in a digraph is the minimum distance between the digraph and the converse digraph (obtained by changing the directions of all the arcs). The ( Δ,N) problem has been extensively studied for graphs and digraphs, but not in the case of double-step digraphs considering the unilateral diameter. The problem consists of finding the minimum unilateral diameter D ∗ for a doublestep digraph given a number of vertices N and degree Δ= 2, that is, to find out the two steps of a double-step digraph that minimize the unilateral diameter D ∗ for these number of vertices and degree.

Català: En termes generals, l’objectiu d’aquest treball és estudiar el problema (Δ,N)(o problema grau-nombre de vèrtexs) per al cas de digrafs de doble pas. Un digraf és una xarxa constituïda per vèrtexs i arestes dirigides (anomenades arcs). En el cas dels grafs, les arestes no tenen direcció. Un digraf de doble pas consta N de vèrtexs i un conjunt d’arcs de la forma (i,i+a) i (i,i ,+b) , amb a i b enters positius anomenats “passos”, és a dir, que existeixen enllaços des del vèrtex cap els vèrtexs i+a i i+b (les operacions s’han d’entendre sempre en mòdul N ). Aquest digraf es denota G(N;a ,b). El diàmetre d’un graf és la mínima distància possible que hi ha entre dos dels vèrtexs més allunyats entre si. En el diàmetre d’un digraf hem de tenir en compte que els arcs tenen direcció. La distància unilateral en un digraf és el mínim entre la distància en el digraf i en el digraf convers (obtingut canviant totes les direccions dels arcs). El problema ( Δ,N) ha estat molt estudiat en grafs i en digrafs, però no en el cas dels digrafs de doble pas considerant el diàmetre unilateral. El problema consisteix a trobar el mínim diàmetre unilateral D ∗ en digrafs de doble pas, per a un nombre de vèrtexs N i el grau Δ=2 donats, és a dir, trobar quins són els dos passos d’un digraf de doble pas que fan que el diàmetre unilateral D ∗ sigui mínim per a aquests nombre de vèrtexs i grau.