Generally speaking, the aim of this work is to study the problem (Delta,N) (or the degree-number of vertices problem) for the case of a Manhattan digraph. A digraph is a network formed by vertices and directed edges called arcs (in the case of graphs the edges have no direction). The diameter of a graph is the minimum distance that exists between two of the farthest vertices. In the diameter of a digraph we must take into account that arcs have direction. A double-step digraph consists of N vertices and a set of arcs of the form (i,i+a) and (i,i+b), with a and b positive integers called 'steps', that is, there are connections from vertex i to vertices i+a and i+b (operations are modulo N). This digraph is denoted by G(N;a,b). A double-step graph G(N;+-a,+-b) consists of N vertices, but the edges are of the form (i,i+-a) and (i,i+-b), with steps a and b (positive integers), therefore, there are connections from vertex i to vertices i+a, i-a, i+b and i-b (mod N). In a Manhattan digraph, the arcs have directions like the ones of the streets and avenues of Manhattan (or l'Eixample in Barcelona), that is, if an arc goes to the right, the 'next one' goes to the left and if an arc goes upwards, the 'next one' goes downwards. The (Delta,N) problem consists in finding the minimum diameter of a graph or digraph given the number of vertices N and the maximum degree Delta. As this problem has been solved for the case of double-step graphs G(N;+-a,+-b), we expand these graphs transforming every vertex into a directed cycle of order 4 and every edge into two arcs in opposite directions, so that we obtain a Manhattan digraph M. In this work we find the relation between the steps of the double-step graph G(N;+-a,+-b) and the ones of the Manhattan digraph M. Moreover, we made a program that calculates the diameter of the so-called New Amsterdam digraph NA, related to the Manhattan digraph M, from the parameters of the original graph G(N;+-a,+-b).
Català: En termes generals, l’objectiu d’aquest treball és estudiar el problema (o
problema grau-nombre de vèrtexs) per al cas del digraf Manhattan.
Un digraf és una xarxa constituïda per vèrtexs i per arestes dirigides
anomenades arcs (en el cas de grafs, les arestes no tenen direcció). El
diàmetre d’un graf és la mínima distància possible que hi ha entre dos dels
vèrtexs més allunyats entre si. En el diàmetre d’un digraf hem de tenir en
compte que els arcs tenen direcció.
Un digraf de doble pas consta de vèrtexs i un conjunt d'arcs de la forma
i , amb i enters positius anomenats “passos", és a dir,
que existeixen enllaços des del vèrtex cap els vèrtexs i (les
operacions s'han d'entendre sempre mòdul ). Aquest digraf es denota
. Un graf de doble pas també consta de vèrtexs,
però les arestes són de la forma i , amb passos i (enters
positius), per tant, existeixen enllaços des del vèrtex cap els vèrtexs i
(mod ) .
En un digraf Manhattan els arcs tenen les direccions com les dels carrers i les
avingudes de Manhattan (o de l'Eixample de Barcelona), és a dir, si un arc va
cap a la dreta, el "següent" va cap a l'esquerra i si un arc va cap a dalt, el
"següent" va cap a baix.
El problema consisteix a trobar el diàmetre mínim d'un graf o digraf
fixats el nombre de vèrtexs i el grau . Com que aquest problema ha estat
resolt per al cas de grafs de doble pas , hem expandit aquests
grafs transformant cada vèrtex en un cicle dirigit de 4 vèrtexs i cada aresta en
dos arcs de sentits oposats, de manera que obtenim un digraf Manhattan .
En aquest treball trobem la relació entre els passos del graf de doble pas
i els del digraf Manhattan . A més, hem fet un programa que
calcula el diàmetre del digraf anomenat New Amsterdam , que està
relacionat amb el Manhattan , a partir dels paràmetres del graf original
.
