L’any 1904 Poincaréva proposar una caracterització de l’esfera tridimensional a partir d’una propietat dels llaços que conté. El problema té un enunciat relativament senzill, però s’ha demostrat extraordinàriament difícil, fins a aquest any en el que el matemàtic rus Gregory Perelman ha anunciat la seva solució. En aquesta conferència, de caràcter divulgatiu, enunciarem el problema de Poincaré, descrivint la seva evolució i emmarcant-lo en l’estudi de les varietats de dimensió 3, i utilitzarem el teorema d’uniformització del cas dos dimensional per presentar, succintament, les idees geomètriques de Thurston