The Golod-shafarevich inequality and the class field tower problem

Abstract

En aquesta tesi presentarem contraexemples explícit per al problema de la torre de cossos de classes, demostrant així que existeixen cossos de nombres K que no poden ser immergits dins un cos de nombres més gran L amb nombre de classes 1.

Començarem introduint els grups profinits, els quals descriuen els grups de Galois d'extensions de Galois infinites. Posarem un èmfasi especial als grups pro-p, els descriuen el grup de Galois de p-extensions, ja que apareixen en la solució del problema de la torre de cossos de classes. Explicarem com descriure un grup pro-p en termes de generadors i relacions, i demostrarem la desigualtat de Golod-Shafarevich, la qual estableix un criteri per a que un grup pro-p sigui infinit.

Després d'introduir les nocions necessàries de teoria algebraica de nombres, aplicarem la desigualtat de Golod-Shafarevich al problema de la torre de cossos de classes a través del grup de Galois de la extensió pro-p no ramificada maximal. Obtindrem un criteri per a que un cos de nombres K tingui una torre de cossos de classes infinita, i donarem exemples explícits de cossos de nombres satisfent aquest criteri.

En esta tesis presentaremos contraejemplos explícitos para el problema de la torre de cuerpos de clases, demostrando así que existen cuerpos de números K que no pueden ser inmergidos dentro de un cuerpo de números más grande L con número de clases 1.

Empezaremos introduciendo los grupos profinitos, los cuales describen los grupos de Galois de extensiones de Galois infinitas. Pondremos un énfasis especial a los grupos pro-p, los cuales describen los grupos de Galois de p-extensiones, ya que aparecen en la solución del problema de la torre de cuerpos de clases. Explicaremos como describir un grupo pro-p en términos de generadores y relaciones, y demostraremos de desigualdad de Golod-Shafarevich, la cual establece un criterio para que un grupo pro-p sea infinito.

Después de introducir las nociones necesarias de teoría de números, aplicaremos la desigualdad de Golod-Shafarevich al problema de la torre de cuerpos de clases a través del grupo de Galois de la extensión pro-p no ramificada maximal. Obtendremos un criterio para que un cuerpo de números K tenga una torre de cuerpos de clases infinita, y daremos ejemplos explícitos de cuerpos de números satisfaciendo este criterio.

In this thesis we will present explicit counterexamples for the class field tower problem, hence proving that there exist number fields K that cannot be embedded into a larger number field L with class number 1.

We will start by introducing profinite groups, which describe the Galois groups of infinite Galois extensions. Special emphasis is given to pro-p groups, which describe the Galois groups of p-extensions, as they appear in the solution of the class field tower problem. We will explain how to describe a pro-p group in terms of generators and relations, and prove the Golod-Shafarevich inequality, which establishes a criterion for a pro-p group to be infinite.

After introducing the necessary notions of algebraic number theory, we will apply the Golod-Shafarevich inequality to the class field tower problem via the Galois group of the maximal unramified pro-p extension. We will obtain a criterion for a number field K to have infinite class field tower, and give explicit examples of number fields satisfying this criterion.