En aquest treball considerem el problema online d’assignar un conjunt de T béns indivisibles a un conjunt de n agents, amb l’objectiu de maximitzar el Nash Social Welfare (NSW) equilibrant tant l’equitat como l’eficiència. En el model de problema online, els bèns arriben de manera seqüencial i el valor de cada bé només es revela quan arriba, amb aquests valors normalment seleccionats per un adversari. Examinem el problema quan els agents valoran els béns de manera igual i binaria, aixícomo generalitzacions de cada cas. Presentem fites inferiors y superiors per al competitive ratio a cada escenari. Destaquem la cota inferior exponencial para el cas binari i general, i bones garanties para el algorisme greedy en diversos escenaris. A l’escenari amb valoracions iguals, trobem un competitive ratio congruent amb el treball de Barman et al. (EC’18). També estudiem l’escenario on arriben un gran número de béns amb valoració binaria i obtenim garanties assimptóticament ajustades. Per acabar, utilitzem algunes ideas del problema “bipartite maximum matching” per derivar fites inferiors en el escenari bivaluat.

En este trabajo consideramos el problema online de asignar un conjunto de T bienes indivisibles a un conjunto de n agentes, con el objetivo de maximizar el Nash Social Welfare (NSW) para equilibrar tanto la equidad como la eficiencia. En el modelo de problema online, los bienes llegan de forma secuencial y el valor de cada bien solo se revela en el momento de su llegada, con estos valores seleccionados normalmente por un adversario. Examinamos el problema cuando los agentes valoran los items de manera igual y binaria, así como generalizaciones a cada caso. Presentamos cotas inferiores y superiores para el competitive ratio para cada escenario. Destacamos la cota inferior exponencial para el caso binario y general, y buenas garantías para el algoritmo greedy en varios escenarios. En el escenario con valoraciones iguales, encontramos un competitive ratio en línea con el trabajo de Barman et al. (EC’18). También estudiamos el escenario en el que llega un gran número de bienes con valoración binaria y obtenemos garantías asintóticamente ajustadas. Por último, utilizamos algunas ideas del problema “bipartite maximum matching” para derivar límites inferiores en el escenario bivaluado.

In this work we consider the problem of allocating a set of T indivisible goods to a set of n agents in an online manner, with the goal of maximizing the Nash social welfare (NSW) to balance both fairness and efficiency. In the online setting, goods arrive in a sequential fashion and the value of each good is revealed only at the time of arrival, with these values generally selected by an adversary. We examine the NSW problem within the identical and binary valuation settings, as well as mild generalizations to each. We present lower and upper bounds on the competitive ratio for each scenario. We highlight the exponential lower bound for the binary and general case, and good guarantees for the greedy algorithm in several settings. In the equal setting, we find an almost tight lower and upper ratio in line with the work of Barman et al. (EC’18). We also study the setting where a large number of binary items arrive getting asymptotically tight guarantees. Lastly we use some ideas from the “bipartite maximum matching” for deriving lower bounds in the bivalue setting.