(English) Flexoelectricity is a two-way coupling between strain gradient and polarisation or strain and polarization-gradient. Harnessing flexoelectricity as a functional property requires gradient engineering. This is a major step from the uniform-field configurations of piezoelectric devices, since piezoelectricity couples strains and polarisation. Gradients can be generated by non-uniform deformation, such as bending and torsion, or through non-uniform material distributions, electrode configurations and complex geometries. Gradient engineering thus requires accurate quantitative modelling tools capable of efficiently dealing with all these elements with high-physical fidelity in order to build engineering tools for the design of flexoelectric devices. From a mathematical point of view, flexoelectricity is modelled as a system of coupled high-order PDEs. This poses important challenges to computationally solving boundary value problems in general multi-material samples with complex geometries and electrode configurations.In this thesis, a theoretical and computational model for flexoelectricity in the presence of interfaces has been developed and implemented in the context of the hierarchical B-spline immersed boundary approach. This framework has been used to study physical material interfaces, as well as fictitious interfaces such as generalised periodicity unit cell boundaries. The former has been used in multimaterial symmetry-breaking arrangements up-scaling flexoelectricity in electromechanical devices. For the latter case, an elegant and efficient implementation making use of the periodicity of the B-spline bases functions has been derived and used for the design and analysis of flexoelectric architected periodic lattice metamaterials. Moving interfaces such as cracks and ferroelectric domain boundaries have also been studied by coupling phase-field models for fracture and ferroelectric microstructure accounting for flexoelectricity. Finally, flexoelectricity has been shown as a plausible cause for the asymmetric tribology observed in ferroelectrics in tight collaboration with experimentalists.

(Español) La flexoelectricidad es un acoplamiento bidireccional entre el gradiente de tensión y la polarización o entre la tensión y el gradiente de polarización. Aprovechar la flexoelectricidad como una propiedad funcional requiere ingeniería de gradientes. Este es un gran paso desde las configuraciones de campo uniforme de los dispositivos piezoeléctricos, ya que la piezoelectricidad acopla tensiones y polarización. Los gradientes pueden generarse por deformación no uniforme, como flexión y torsión, o mediante distribuciones de materiales no uniformes, configuraciones de electrodos y geometrías complejas. Por lo tanto, la ingeniería de gradientes requiere herramientas precisas de modelado cuantitativo capaces de manejar de manera eficiente todos estos elementos con alta fidelidad física para construir herramientas de ingeniería para el diseño de dispositivos flexoeléctricos. Desde un punto de vista matemático, la flexoelectricidad se modela como un sistema de EDPs acopladas de alto orden. Esto plantea desafíos importantes para resolver computacionalmente problemas de condición de frontera en muestras generales de múltiples materiales con geometrías complejas y configuraciones de electrodos. En esta tesis, se ha desarrollado e implementado un modelo teórico y computacional para flexoelectricidad en presencia de interfaces en el contexto del enfoque de B-spline jerárquicas en problemas de condición de frontera. Este marco se ha utilizado para estudiar interfaces de materiales físicos, así como interfaces ficticias como los límites de celdas de unidades de periodicidad generalizadas. El primero se ha utilizado en arreglos multimateriales que rompen la simetría aumentando la flexoelectricidad en dispositivos electromecánicos. Para el último caso, se ha derivado y utilizado una implementación elegante y eficiente que hace uso de la periodicidad de las funciones de las bases B-spline para el diseño y análisis de metamateriales flexoeléctricos con arquitectura periódica. Las interfaces móviles, como las grietas y los límites de los dominios ferroeléctricos, también se han estudiado mediante el acoplamiento de modelos de campo de fase para fracturas y microestructuras ferroeléctricas que representan la flexoelectricidad. Finalmente, se ha demostrado que la flexoelectricidad es una causa plausible de la tribología asimétrica observada en los ferroeléctricos en estrecha colaboración con experimentalistas.