Contribución al modelado y caracterización de nodos en redes de banda ancha: aplicación al multiplexor inverso ATM Mónica Aguilar Igartua ADVERTIMENT La consulta d’aquesta tesi queda condicionada a l’acceptació de les següents condicions d'ús: La difusió d’aquesta tesi per mitjà del repositori institucional UPCommons (http://upcommons.upc.edu/tesis) i el repositori cooperatiu TDX ( h t t p : / / w w w . t d x . c a t / ) ha estat autoritzada pels titulars dels drets de propietat intel·lectual únicament per a usos privats emmarcats en activitats d’investigació i docència. No s’autoritza la seva reproducció amb finalitats de lucre ni la seva difusió i posada a disposició des d’un lloc aliè al servei UPCommons o TDX. No s’autoritza la presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a UPCommons (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant al resum de presentació de la tesi com als seus continguts. En la utilització o cita de parts de la tesi és obligat indicar el nom de la persona autora. ADVERTENCIA La consulta de esta tesis queda condicionada a la aceptación de las siguientes condiciones de uso: La difusión de esta tesis por medio del repositorio institucional UPCommons (http://upcommons.upc.edu/tesis) y el repositorio cooperativo TDR (http://www.tdx.cat/?locale- attribute=es) ha sido autorizada por los titulares de los derechos de propiedad intelectual únicamente para usos privados enmarcados en actividades de investigación y docencia. No se autoriza su reproducción con finalidades de lucro ni su difusión y puesta a disposición desde un sitio ajeno al servicio UPCommons No se autoriza la presentación de su contenido en una ventana o marco ajeno a UPCommons (framing). Esta reserva de derechos afecta tanto al resumen de presentación de la tesis como a sus contenidos. En la utilización o cita de partes de la tesis es obligado indicar el nombre de la persona autora. 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Aplicación al Multiplexor Inverso ATM. TESIS DOCTORAL Tesis Doctoral presentada en la Universidad Politécnica de Cataluña para la obtención del título de Doctora Ingeniera de Telecomunicación Autor: Mónica Aguilar Igartua Director: Dr. Joan García Haro Tribunal nomenat pel l’Il.lm. Senyor Rector de la Universitat Politècnica de Catalunya, el dia de de 19 President Dr. Vocal Dr. Vocal Dr. Vocal Dr. Secretari Dr. Realitzat l’acte de defensa i lectura de la Tesi Doctoral el dia de de 19 a Qualificació: EL PRESIDENT ELS VOCALS EL SECRETARI Dicen de los malagueños que son muy buena gente. Yo quiero dedicar esta tesis al que más quiero, a mi padre. “El único modo de superar una prueba es realizarla. Es inevitable” - El Anciano Cisne Negro Real, jefe de la tribu aborigen de los Auténticos, Australia, 1991 - Agradecimientos Deseo reconocer mi agradecimiento a mis dos compañeros de estudio durante el desarrollo de esta tesis, de análisis y discusión siempre constructiva, Marcos Postigo Boix y Joan García Haro. El simulador SIMUX fue elaborado en el Proyecto Final de Carrera realizado por Marcos y dirigido por Joan. A ambos agradezco las numerosas discusiones-pizarreras y sobre el papel que hemos tenido a lo largo de nuestro trabajo en equipo. En especial, quiero agradecer a mi Director de Tesis Joan García Haro la confianza que depositó en mí, su constante apoyo, sus indicaciones y orientaciones indispensables en el desarrollo de este trabajo. Quisiera destacar la seriedad profesional que le caracteriza. Quiero agradecer a Emilio Sanvicente Gargallo el trato amable, comprensivo y en confianza que siempre me ha mostrado. Me siento especialmente orgullosa de que aceptara ser el Presidente del Tribunal de esta tesis. También me enorgullece que Jordi Mata Díaz haya aceptado formar parte de dicho Tribunal. A todos los compañeros y compañeras de sección quisiera darles las gracias por los buenos momentos que hemos compartido. Creo que todos hemos aprendido y aprendemos continuamente de todos y de nosotros mismos, tanto profesional como personalmente. Y eso es enriquecedor en ambos ámbitos. En especial un cariñoso reconocimiento a los que me han demostrado su apoyo y brindado sus ánimos y consejos durante estas últimas muy duras semanas: Marta Solera, Xavier Hesselbach, Francisco Rico, Miquel Soriano, Anna Calveras, Jordi Mata, Jordi Forné, Luis de la Cruz, Mónica Gorricho, Marcos Postigo, Josep Pegueroles, Miquel Oliver, Esteve Pallarés... Siento que ningún otro compañero de sección tenga la suerte de tener al mejor compañero de despacho posible, Juanjo Alins Delgado, mi compa. A mis amigos, a mis hermanas, a mi padre, a mi familia, que están conmigo siempre dándome la fuerza para continuar. Ahora que acabo la tesis, no sé qué excusa podré hacer servir ya para no acceder a todos los planes que tenemos que hacer juntos... Quisiera dejar escrito mi agradecimiento a dos personas muy especiales que quiero con toda el alma, y que me han mostrado mil veces en su propio ejemplo lo que significa ser una gran persona, Yolanda Vivar Díaz y Rubèn Estela García. ÍNDICE CAPÍTULO 1. Introducción 1.1. Introducción ............................................................................................................ 1-1 1.2. Modo de Transferencia Asíncrono (ATM, Asynchronous Transfer Mode) ............ 1-5 1.2.1. Gestión de tráfico en redes ATM ................................................................. 1-7 1.3. Motivación, Objetivo y Contribuciones de esta Tesis ............................................ 1-8 1.4. Desarrollo de la Tesis ........................................................................................... 1-10 1.5. Artículos publicados ............................................................................................. 1-12 CAPÍTULO 2. Modelo analítico basado en el sistema de colas M/D/s para caracterizar parámetros de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio continuo 2.1. Introducción ............................................................................................................ 2-1 2.2. Modelo del sistema de colas de un nodo de conmutación: Llegadas de Poisson, múltiples servidores, cola de capacidad limitada y tiempo de servicio continuo .................................................................................................... 2-3 2.3. Estimación de la ocupación media de la cola ......................................................... 2-5 2.4. Estimación de la probabilidad de pérdida de celdas, CLR (Cell Loss Ratio) ......... 2-6 2.5. Comparación de los resultados numéricos de la simulación y el análisis ............. 2-8 2.6. Diferenciación mediante prioridades. Método de estimación y resultados numéricos ............................................................................................................... 2-9 2.7. Conclusiones ........................................................................................................ 2-12 CAPÍTULO 3. Modelo analítico basado en el sistema de colas M/D/s para caracterizar parámetros de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio discreto 3.1. Introducción ............................................................................................................ 3-1 3.2. Modelo M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto y dos niveles de prioridad .................................................................................................................. 3-2 3.2.1. Modelo del nodo de conmutación ................................................................ 3-2 3.2.2. Estimación de la ocupación media de la cola. Tiempo de servicio discreto ......................................................................................................... 3-3 i-1 Índice 3.2.3. Estimación de la ocupación media de la cola. Esquema con dos prioridades .................................................................................................... 3-5 3.2.4. Estimación de la probabilidad de pérdida de celdas. Tiempo de servicio discreto y dos niveles de prioridad ................................................. 3-6 3.3. Modelo M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto y cinco niveles de prioridad ............................................................................................................... 3-11 3.3.1. Estimación de la ocupación media de la cola. Esquema con cinco prioridades .................................................................................................. 3-11 3.3.2. Estimación de la probabilidad de pérdida de celdas. Tiempo de servicio discreto y cinco niveles de prioridad ............................................ 3-14 3.3.3. Resultados numéricos para el modelo que contempla cinco niveles de prioridad ..................................................................................................... 3-15 3.4. Conclusiones ......................................................................................................... 3-20 CAPÍTULO 4. Aplicación particular: Multiplexación Inversa para ATM, Especificación IMA. Multiplexor Inverso para ATM, IMUX 4.1. Introducción ............................................................................................................ 4-1 4.2. Orígenes y aplicaciones de la tecnología IMUX .................................................... 4-3 4.3. Funcionamiento del dispositivo IMUX ................................................................... 4-7 4.4. Problemática asociada a la tecnología IMUX ....................................................... 4-10 4.5. Conclusiones ........................................................................................................ 4-12 CAPÍTULO 5. Modelo analítico para la evaluación de las pérdidas en el IMUX 5.1. Introducción ............................................................................................................ 5-1 5.2. Análisis de la carga adicional introducida por el IMUX ........................................ 5-1 5.3. Aspectos de planificación y evaluación de prestaciones: diseño del dispositivo IMUX ................................................................................................... 5-4 5.4. Carga adicional debida a la inserción de celdas Filler ........................................... 5-4 5.5. Estimación de la probabilidad de pérdida de celdas, CLR. Resultados numéricos e interpretación ..................................................................................... 5-8 5.6. Conclusiones ........................................................................................................ 5-10 CAPÍTULO 6. Modelo íntegramente analítico para la evaluación de prestaciones en el IMUX 6.1. Introducción. Modelo sencillo para el IMUX basado en un sistema de colas con servidor único. Parámetros de interés .............................................................. 6-1 6.2. CLR y tiempo medio de espera en la cola (W ) a partir de la solución M/D/1/N modificando el tiempo medio residual de servicio ................................. 6-3 i-2 Índice 6.2.1. Resultados gráficos para la aproximación al CLR en el IMUX ................... 6-6 6.2.2. Resultados gráficos para la aproximación al W en el IMUX ...................... 6-8 6.3. CLR y W a partir de la semi-cadena de Markov M/D/1 modificando el estado cero. Análisis de los efectos adicionales que se producen en el IMUX .... 6-10 6.3.1. Probabilidades de transición entre estados en la semi-cadena de Markov M/D/1 modificada. Aproximación para el sistema M/D/1/N: Ncont , Wcont y CLRcont .............................................................................. 6-11 6.3.2. Efecto que produce la tasa IDCR de decisión de salida de celdas del sistema: N IDCR y WIDCR ............................................................................. 6-14 6.3.3. Efecto que produce la inserción de las celdas de control ICP y SICP: N ICP y WICP ............................................................................................... 6-17 6.3.4. Estado virtual de saturación del sistema CLRcont ...................................... 6-26 6.3.5. Efecto que produce que el tiempo de servicio sea determinista: Wdiscr y CLRdiscr ................................................................................................... 6-26 6.3.6. Wtot = Wcont + WICP +WIDCR +Wdiscr . Análisis y gráficas por separado de cada contribución .................................................................................. 6-28 6.3.7. CLRtot =CLRcont + CLRdiscr . Análisis y gráficas por separado de cada contribución ............................................................................................... 6-35 6.4. Conclusiones ....................................................................................................... 6-40 CAPÍTULO 7. Conclusiones más relevantes. Líneas futuras de investigación 7.1. Introducción ............................................................................................................ 7-1 7.2. Conclusiones .......................................................................................................... 7-1 7.3. Líneas futuras de investigación .............................................................................. 7-3 ANEXO I. Obtención de las probabilidades de estado en un sistema M/D/1/N I.1. Probabilidades de estado ......................................................................................... I-1 I.2. Obtención de NQ , WQ y CLR .................................................................................. I-1 i-3 Índice ANEXO II. Tiempo de servicio discreto: Número medio de celdas que ingresan en la cola (Wdiscr ) y probabilidad de pérdida de celdas adicional (CLRdiscr) de un sistema de colas durante un intervalo de servicio II.1. Introducción ............................................................................................................II-1 II.2. Aproximación para obtener Wdiscr ..........................................................................II-1 II.3. Aproximación para obtener CLRdiscr ......................................................................II-2 ANEXO III. Entorno de simulación SIMUX (Simulador IMUX) para evaluar el comportamiento del dispositivo IMUX III.1. Descripción del simulador SIMUX ....................................................................... III-1 III.2. Cálculo de Parámetros Estadísticos en las Simulaciones. Intervalos de Confianza ............................................................................................................. III-5 ANEXO IV. Entorno de simulación ADSIM (ATM Devices SIMulator) para el estudio del sistema de colas M/D/s/s+B con esquema de prioridades IV.1. Descripción del simulador ADSIM ....................................................................... IV-1 IV.2. Validación del simulador implementado cotejando con resultados conocidos .... IV-7 ANEXO V. Obtención exacta de las probabilidades de estado en un sistema M/D/s/s+B V.1. Probabilidades de estado ........................................................................................V-1 V.2. Obtención de NQ , WQ y CLR .................................................................................V-2 GLOSARIO DE ACRÓNIMOS Glosario de Acrónimos ................................................................................................GA-1 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Referencias Bibliográficas ........................................................................................... RB-1 i-4 Capítulo 1. Introducción 1.1. Introducción Desde hace dos décadas estamos asistiendo a una auténtica revolución en el mundo de las comunicaciones. La sociedad actual, tanto en el ámbito laboral y académico como privado y doméstico, tiene una gran necesidad de informarse y de comunicarse. El volumen de información que circula por las redes actuales y la diferente naturaleza de las nuevas aplicaciones que además requieren de un gran ancho de banda, exige la necesidad de disponer de redes de área extendida de banda ancha capaces de integrar servicios distintos de manera eficiente (videoconferencia, correo electrónico, telemedicina, telefonía, entretenimiento,...). En general se deben soportar tres tipos de tráfico: voz, vídeo y datos. Las redes de telecomunicación tradicionales están especializadas para dar servicio a un solo tipo de tráfico, por lo que las desventajas obvias son que cada red sólo es capaz de transportar el servicio para el que fue diseñada, presentando grandes dificultades para adaptarse a los continuos cambios tecnológicos y alcanzando un gran nivel de ineficiencia en la utilización de los recursos y en el aumento de costes de mantenimiento de las diferentes redes. Todos estos problemas, junto con la aparición de nuevos servicios con demandas de anchos de banda grandes, ponen de manifiesto la necesidad de disponer de una red única capaz de transportar todos los servicios de manera integrada compartiendo eficientemente los recursos. Los avances tecnológicos producidos a finales de los años 80 en las áreas de la microelectrónica (VLSI, Very Large Scale Integration), la conmutación de paquetes y las 1-1 Capítulo 1 comunicaciones por fibra óptica llevaron al desarrollo de la denominada Red Digital de Servicios Integrados de Banda Ancha (RDSI-BA) por la ITU-T (International Telecommunications Union- Telecommunication) capaz de soportar de manera unificada servicios de voz, vídeo y datos. Este organismo adoptó el Modo de Transferencia Asíncrono (ATM, Asynchronous Transfer Mode) como técnica de multiplexación y conmutación utilizada para transferir la información sobre la RDSI-BA [ITU92]. Este modo de transferencia está basado en la segmentación del flujo de información en paquetes de longitud fija igual a 53 octetos, denominados celdas. El pequeño tamaño de las celdas ATM junto con las altas velocidades de transmisión utilizadas proporciona la flexibilidad y la eficiencia necesarias para la integración de los diferentes servicios. ATM es una técnica orientada a conexión, lo que significa que las características que definen al servicio se negocian entre usuario y red previo a la transferencia de información durante el período de establecimiento de la conexión. La información necesaria para encaminar las celdas se halla en la cabecera de la misma, tan sólo 5 octetos, por lo que se consiguen velocidades de transmisión muy grandes, siendo alguna de las tasas nominales de 155 y 622 Mbps. Una red ATM puede entenderse como un grupo de multiplexores y conmutadores ATM conectados mediante enlaces permitiendo la transmisión de celdas desde las fuentes a los destinos. Cada nodo de conmutación dirige una celda entrante a su correspondiente enlace de salida, hasta que finalmente alcanza su destino. Por lo tanto, este dispositivo debe tener necesariamente una memoria para almacenar aquellas celdas que no pueden ser atendidas en cuanto llegan. En [GAR95] se realiza un estudio sobre distintas alternativas en la arquitectura de los nodos de conmutación ATM. En este trabajo se consideró un nodo conmutador sin bloqueo interno con un sistema de almacenamiento en la salida para evitar el bloqueo de cabeza de cola, que sí se produce en un sistema de almacenamiento en la entrada (si una celda en la cabeza de la cola espera, las celdas que la siguen también están obligadas a esperar aunque estén destinadas a puertos de salida libres) [GAR95]. Al conmutador ATM llegan celdas procedentes de varias aplicaciones cada una con diferentes características de tráfico y por lo tanto distinta clase de servicio de entre las cinco que ofrece ATM: CBR (Constant Bit Rate), rt-VBR (real-time Variable Bit Rate), nrt-VBR (non real-time Variable Bit Rate), ABR (Available Bit Rate) y UBR (Unspecified Bit Rate) [ATM96]. El nodo conmutador ATM que se ha estudiado en esta tesis tiene N enlaces de entrada y N enlaces de salida agrupados en N/s colas multiservidor, como se indica en la Figura (1-1). Cada cola tiene s>1 enlaces de salida hacia el mismo destino y una cola de tamaño finito B celdas que almacena todas las celdas con mismo destino [BRU93]. Uno de los problemas relacionados con la evaluación de redes basadas en ATM es la ausencia de modelos sencillos que permitan obtener una primera aproximación de los parámetros de calidad a que están sometidos los distintos tráficos de la red. 1-2 Introducción B s N N/s N enlaces grupos de enlaces de entrada destino de salida s B Figura 1-1. Conmutador ATM con colas de salida. La caracterización del tráfico en el ámbito de la fuente (a la entrada del multiplexor) ha sido objeto de múltiples estudios y discusiones. Sin embargo, la caracterización del tráfico agregado basada en herramientas analíticas es actualmente objeto de investigación, pues puede resultar tremendamente compleja por mezclarse tráficos deterministas tipo CBR (NxD) con tráficos estadísticos tipo VBR que han probado poseer ciertas características fractales y de autosimilitud. Ante esta situación, se ve como necesario el caracterizar este tráfico sobre la base de medidas reales, pero es difícil encontrar una red con alta carga ATM, que a la vez pueda considerarse que lleva una combinación típica de clases de tráfico. El nodo genérico que estudiamos se sitúa, como primera aproximación, en niveles altos de la jerarquía de red, por lo que si bien los tráficos de fuente presentan una distribución muy dispersa, a los conmutadores de nivel alto llega el tráfico ya muy mezclado y con toda seguridad procesado por espaciadores que habrán suavizado la gran dispersión que puede hallarse en algunas clases de tráficos de fuente. Como el proceso de llegadas es desconocido, pero suponemos que presenta un pequeño coeficiente de variación (no mucho mayor que uno) se hace la hipótesis de considerar que las celdas llegan al nodo (y por lo tanto a cada una de las colas) según un proceso de Poisson con tasa media λ celdas por unidad de tiempo. El proceso de llegadas de Poisson resulta por lo menos una hipótesis razonable. Ante la ignorancia de la realidad, el tráfico de Poisson no puede considerarse ni mucho ni poco disperso y por su característica de “proceso sin memoria” permite obtener conclusiones que de otro modo resultarían muy complejas o imposibles. Por otra parte, el proceso de llegadas de celdas al nodo constituye un proceso discreto, dado que cada celda puede llegar únicamente sobre una base de tiempos ranurada. Sin embargo a nivel de tráfico agregado en un nodo de alta jerarquía que se supone que recibe una carga de tráfico alta, la aproximación mediante una cola con llegadas sobre una base de tiempos continua no puede alejarse de la realidad. Así, hemos supuesto primero que la llegada de celdas al sistema, se va a producir de forma continua. Por el contrario, como los tiempos de servicio de las celdas tienen duración constante ya que la celda tiene longitud fija de 53 octetos, el tiempo de servicio está dividido en intervalos de longitud fija o slots de tal manera que el sistema funciona sobre una base temporal discreta o ranurada. 1-3 Capítulo 1 Sobre la base de estas consideraciones, en este trabajo se ha modelado el comportamiento del sistema de colas a la salida del nodo de conmutación ATM mediante una cola M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto y un esquema de cinco prioridades, un nivel de prioridad para cada clase de servicio ATM aquí tenido en cuenta. Por otro lado, el acceso a las redes ATM es una cuestión clave ya que cada vez hay una mayor demanda de ancho de banda por parte de los usuarios. Sin embargo, se necesitan alternativas económicamente viables. La multiplexación ATM inversa es una técnica con la que se combinan varios enlaces T1/E1 resultando en un único canal lógico de datos con tasa igual al agregado de los anchos de banda T1/E1 menos una pequeña cantidad debida a overhead de control. IMA (Inverse Multiplexing for ATM) es una tecnología de red para proveer eficientemente anchos de banda utilizando la infraestructura disponible. El término multiplexación inversa se debe a que se toma el tráfico de un enlace de relativamente “alta” velocidad y se distribuye sobre varios enlaces de “baja” velocidad para su transmisión, como se esquematiza en la Figura (1-2). Por el contrario, la multiplexación convencional (estadística o determinista) agrega el tráfico de múltiples enlaces independientes, cada uno proveniente de una fuente de diferente naturaleza, en un enlace generalmente de mayor velocidad para conseguir así una transmisión más eficiente. Bajo nuestro punto de vista, resultaría de interés caracterizar mediante expresiones fácilmente manejables el comportamiento del dispositivo multiplexor inverso (IMUX, Inverse Multiplexer for ATM) en cuanto a los parámetros principales de calidad de servicio ATM. Una manera de abordar dicha tarea es, después de hacer las mismas consideraciones realizadas para el conmutador ATM, también mediante un sistema de colas M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto. Sin embargo, para realizar su función el IMUX inserta en el flujo de celdas ATM otras celdas de control cuyo efecto sobre las prestaciones del dispositivo también se han considerado en este trabajo. IMUX B s Figura 1-2. Multiplexor Inverso ATM. Al ingeniero que dimensiona los dispositivos que conforman una red, le es de gran utilidad disponer de herramientas útiles, de fácil manejo que le permitan decidir qué parámetros resulta conveniente elegir según la calidad de servicio que se desee ofrecer. En esta tesis se ha propuesto 1-4 Introducción una herramienta analítica para dimensionar cada uno de los dos sistemas propuestos anteriormente. En el próximo apartado de este capítulo se apuntan las principales características de la bien conocida tecnología ATM, se numeran los parámetros descriptores del tráfico ATM, los parámetros de calidad de servicio ATM y las cinco clases de servicio especificadas por el ATM Forum [ATM96]. Los dos últimos apartados exponen la motivación, objetivos y contribuciones de este trabajo de Tesis y describen el desarrollo de los capítulos restantes de este trabajo. 1.2. Modo de Transferencia Asíncrono (ATM, Asynchronous Transfer Mode) La RDSI-BA aparece a principios de 1985, en 1987 se normaliza el ATM como modo de transmisión para implementarla y en 1993 se planifican e implementan las primeras redes RDSI- BA experimentales en aplicaciones pilotos reales [PRY95]. No es preciso incidir aquí sobre la tecnología ATM, puesto que existe mucha literatura especializada en dicha materia. Sólo resaltaremos algunas de las principales características de ATM [PRY95]. - No se realiza control de flujo ni protección de errores entre nodos adyacentes, ya que debido a la alta calidad de los enlaces es muy baja la probabilidad de aparición de errores. - ATM está orientado a conexión, lo que significa que se realiza un establecimiento de la conexión para reservar los recursos necesarios (en el caso en que éstos estén disponibles, en caso contrario la conexión simplemente se rechaza). Una vez se ha establecido la conexión, se inicia la fase de transferencia de la información y al finalizar ésta, se liberan los recursos y la conexión. - La cabecera de la celda ATM está reducida al máximo para garantizar un proceso rápido en los nodos de la red. Básicamente su función es de encaminamiento. De los cinco octetos que forman la cabecera, tres contienen la información de encaminamiento: Dos octetos para identificar la conexión virtual, VCI (Virtual Connection Identifier) y un octeto para identificar el camino virtual, VPI (Virtual Path Identifier). El VPI identifica a un grupo de conexiones, mientras que el VCI identifica la conexión dentro de un camino virtual. El resto de la cabecera consiste en un campo de control de flujo genérico (GFC, Generic Flow Control), tres bits para un identificador del tipo de información útil que transporta la celda (PTI, Payload Type Identificator), un bit de prioridad frente a pérdidas (CLP, Cell Loss Priority) y un octeto para control de errores en la cabecera (HEC, Header Error Control) para así evitar problemas de encaminamiento de las celdas. - El campo de información es relativamente pequeño (48 octetos) para poder reducir el tamaño de las colas en los nodos de conmutación y acotar así el retardo introducido en dichos nodos. 1-5 Capítulo 1 En la Figura (1-3) se representa la estructura de celda ATM definida para la interfaz UNI (User-Network Interface). En la interfaz NNI (Network-Node Interface) el campo GFC es sustituido por 4 bits VPI adicionales. En ATM se establecen conexiones virtuales entre cada par de nodos de conmutación intermedios en la transmisión desde un extremo fuente a un extremo destino. Los enlaces físicos no se reservan exclusivamente a un solo usuario, si no que varias conexiones virtuales comparten los mismos recursos físicos, aumentando así la eficiencia de la red. Cuando se establece un camino virtual, a cada conmutador se le proporciona una tabla de encaminamiento indexada en función de la etiqueta de direccionamiento VCI/VPI de la cabecera de las celdas, cuyo significado es únicamente local entre dos nodos de conmutación ATM adyacentes. Así, la celda pasará de conmutador a conmutador por la ruta preestablecida en la fase de establecimiento de la conexión, pero esta ruta es virtual en cuanto a que los recursos sólo se le dedican mientras las celdas la atraviesen. 1 GFC VPI GFC: Generic Flow Control 2 VPI VCI VPI: Virtual Path Identifier 3 VCI: Virtual Channel Identifier VCI CLP PT: Payload Type 4 VCI PT CLP: Cell Loss Priority 5 HEC: Header Error Control HEC Cabecera, 5 oct. Campo de información, 48 octetos Figura 1-3. Estructura de celda ATM. 1.2.1 Gestión de tráfico en redes ATM La gestión del tráfico ATM permite utilizar de manera eficiente los recursos de la red mediante diversos algoritmos y controles utilizados para prevenir la congestión de los nodos que forman la red. El Control de Admisión de Conexiones (CAC, Connection Admission Control) es el algoritmo encargado de aceptar o rechazar una nueva conexión de manera que se asegure que las conexiones existentes no se vean afectadas por ello. El Algoritmo de Control de Flujo Genérico (GCRA, Generic Cell Rate Algorithm) es el algoritmo que se aplica a cada celda que entra en la red para comprobar si cumple con los descriptores de tráfico que caracterizan al flujo de celdas de la conexión a la que pertenece, de manera que la celda conforme entra en la red y la no conforme será descartada o marcada con prioridad baja (bit CLP de la cabecera de la celda puesto a uno). Los descriptores de tráfico son los parámetros que definen las características del tráfico de una conexión. • Parámetros descriptores del tráfico. - PCR (Peak Cell Rate). Tasa máxima a la que emitirá la fuente de la conexión. 1-6 Introducción - SCR (Sustained Cell Rate). Tasa media de celdas que genera la fuente. - MBS (Maximum Burst Size). Especifica el número máximo de celdas que pueden ser transmitidas a tasa PCR mientras se siga cumpliendo con la tasa SCR. - MCR (Minimum Cell Rate). Tasa de celda mínima que requiere la fuente. - CDVT (Cell Delay Variation Tolerance). Margen en la medida del CDV de las celdas de una conexión que se ven influenciadas por el multiplexado de varias fuentes sobre un único enlace. Además de utilizar eficientemente los recursos de la red, la gestión del tráfico ATM debe garantizar la calidad de servicio contratada por cada conexión. Para garantizar la calidad de servicio de los diferentes tipos de tráfico el ATM Forum define cinco clases de servicio [ATM96] cada uno con diferentes restricciones en los parámetros de calidad de servicio. • Parámetros básicos de calidad de servicio (QoS, Quality of Service). - CLR (Cell Loss Ratio). Relación de celdas perdidas y celdas totales trasmitidas. - CTD (Cell Transfer Delay). Tiempo que una celda emplea en viajar del origen al destino. En este parámetro influye directamente la longitud de los enlaces y el tamaño de las memorias de almacenamiento en los nodos intermedios. - CDV (Cell Delay Variation). Diferencia de retardos que sufren las celdas. El valor más crítico será el CDV máximo que una conexión soporte. • Clases de servicio [ATM96]. - CBR (Constant Bit Rate). Se utiliza para conexiones que necesitan un ancho de banda estable constantemente disponible mientras dure la conexión. Esta clase de servicio tiene definidos los parámetros de tráfico PCR y CDVT. Es sensible a los parámetros de QoS CDV y CTD. Este servicio está pensado para soportar aplicaciones en tiempo real muy sensibles al retardo y a su variación, como voz y vídeo. - rt-VBR (Real-time Variable Bit Rate). Categoría pensada para aplicaciones en tiempo real que requieren retardos y variaciones del retardo limitados. Conexiones caracterizadas por los parámetros de tráfico PCR, CDVT, SCR y MBS. Es sensible a los parámetros de QoS, CDV y CTD. Aplicaciones que lo utilizan son por ejemplo voz y vídeo. - nrt-VBR (Non-real-time Variable Bit Rate). Este servicio no tiene restricciones temporales pero sí es sensible a la pérdida de celdas. Como parámetros de tráfico PCR, CDVT, SCR y MBS. Es sensible al parámetro CLR de QoS. Ejemplo de aplicación que lo utiliza es el soporte de Frame Relay sobre ATM. - ABR (Available Bit Rate). Servicio pensado para aplicaciones elásticas que puedan ajustarse al ancho de banda disponible, mediante una realimentación para controlar la tasa de fuente en respuesta a cambios en las características de la transmisión a nivel ATM. Esta 1-7 Capítulo 1 realimentación se realiza mediante unas celdas de gestión de recursos (RM, Resource Management). Utiliza los parámetros de tráfico PCR, CDVT y MCR. Es sensible al parámetro CLR de QoS. Ejemplo de aplicación que lo utiliza es el soporte del protocolo TCP/IP sobre ATM. - UBR (Unspecified Bit Rate). Este servicio no garantiza ninguna calidad de servicio. Las celdas UBR utilizan el ancho de banda que haya sobrante en la red en ese momento. Utiliza este servicio, por ejemplo la aplicación de correo electrónico. 1.3. Motivación, Objetivo y Contribuciones de esta Tesis En esta tesis se plantea la resolución del problema de diseño del nodo ATM como elemento fundamental y crítico de una red construida con dicha tecnología. Una red ATM está formada por una serie de dispositivos (multiplexores, conmutadores, multiplexores inversos...) cuyo diseño es crucial para asegurar que se proveerá la calidad de servicio que cada conexión lógica requiera. Las celdas ATM que llegan al nodo cuando éste no puede atenderlas, ingresan en una zona de memoria destinada a su almacenamiento. Diseñar un nodo ATM (un nodo de conmutación o un multiplexor inverso IMUX) significa hallar el valor adecuado de cada uno de sus parámetros característicos para asegurar que se mantendrá la QoS de cada conexión lógica ATM. Los parámetros de diseño elegidos son el tamaño de la memoria (capacidad de almacenamiento) y el número de servidores o canales de salida (capacidad de gestión de la información) que en función de la carga aplicada proporcionen unos valores contratados de calidad de servicio. En concreto, nos hemos referido a asegurar una probabilidad de pérdida de celdas acotada y un tiempo medio de espera en la cola determinado. Además, aunque pudiera parecer poco importante la decisión de contratar un número de enlaces u otro inmediatamente superior, ésta es una cuestión decisiva si la diferencia de costes es elevada, como ocurre en el precio de contratación de un enlace E1 (2,048 Mbps, $ 2.900, 25 Km) y de un enlace E3 (34,368 Mbps, $ 29.000, 25 Km) [CHO97]. El ingeniero que debe diseñar la red ATM, es decir, dimensionar los dispositivos que la conforman, precisa disponer de herramientas que faciliten esta parametrización del sistema. Las propiedades que caracterizarán la utilidad de una buena herramienta de diseño serán la reducción del tiempo de obtención de resultados adecuados y la facilidad de utilización de la metodología propuesta. A la hora de plantearnos cuál sería el formato de la herramienta a desarrollar nos surgían dos opciones fundamentalmente: el empleo de simuladores para modelar la red o la resolución de los valores requeridos para su parametrización mediante expresiones algebraicas. Ambas opciones ofrecen la ventaja de poder trabajar con una red sin la necesidad de disponer físicamente de los equipos y sistemas que la conforman y obteniendo los mismos resultados. 1-8 Introducción La primera opción ofrece la ventaja de evitar todo el desarrollo del análisis matemático. Al tiempo, es una imitación fotográfica del comportamiento del sistema físico real que permite observar el flujo de los eventos con unos tiempos de ejecución sustancialmente inferiores. No obstante, el empleo de técnicas de simulación convencional en redes ATM requiere tiempos de ejecución muy grandes. Ello es debido al valor extremadamente elevado de celdas que deben ser procesadas para alcanzar valores de la probabilidad de pérdida (CLR) del rango de 10-6 a 10–12. Para estimar la probabilidad de pérdida de celdas con una confianza estadística razonable se necesita simular de 107 a 1013 celdas estadísticamente independientes, lo cual resulta muy costoso computacionalmente con técnicas clásicas de simulación. Para valores menores de CLR, la pérdida de una celda es un evento raro con poco significado estadístico sobre el total de celdas simuladas, y para ello sería necesario añadir técnicas de simulación de eventos raros, que permiten conseguir valores menores del probabilidad de pérdida de celdas sin necesidad de simular un mayor número de celdas, como es el método de simulación RESTART (REpetitive Simulation Trials After Reaching Thresholds) [VIL91]. Dadas las restricciones en cuanto al tiempo de ejecución, generalmente sólo se tienen en consideración simulaciones para la probabilidad de pérdida de celdas hasta un valor de 10-6. Valores inferiores al indicado se obtienen por extrapolación. La segunda opción planteada, la parametrización de las redes ATM mediante expresiones algebraicas, tiene a priori el gran handicap del desarrollo matemático necesario para la obtención de expresiones que reflejen fielmente el comportamiento real de los sistemas. En aras de este objetivo podemos fácilmente encontrarnos ante sistemas analíticos que no tengan solución o que para obtenerla deban resolverse grandes sistemas de ecuaciones para cada terna de valores de los parámetros seleccionados (número de enlaces, carga de los mismos y tamaño de la memoria), lo cual resulta inviable para satisfacer los criterios de utilidad y eficiencia de la herramienta a ofrecer. Ante el prometedor objetivo de lograr unas expresiones cerradas y sencillas que optimicen el proceso de diseño de los dispositivos de la red y frente al problema descrito, se ha optado por la opción de conseguir unas expresiones matemáticas aproximadas que proporcionen resultados que difieran de los reales en márgenes acotados en intervalos suficientemente pequeños como para ser soportados por la fidelidad del diseño resultante. El nodo que estudiamos se ubica en niveles altos de la jerarquía de red, por lo que el tráfico le llega ya muy mezclado y presenta un pequeño coeficiente de variación (no mucho mayor que uno) lo cual permite hacer la razonable hipótesis de considerar que las celdas llegan al nodo según un proceso de Poisson. Frente la ignorancia de la realidad, la característica de “proceso sin memoria” del tráfico de Poisson permite obtener conclusiones que de otro modo resultarían muy complejas o imposibles. Superada la dificultad matemática intrínseca, se logran unas expresiones que conllevan la capacidad de resolución del problema de diseño inicialmente planteado para todo el espectro de 1-9 Capítulo 1 valores de interés en los parámetros seleccionados: valores medios y altos de la carga de los enlaces, un número de servidores ajustado a la realidad y todo el rango posible de valores del tamaño de la cola. Además hemos logrado una herramienta de diseño de muy rápida y fácil resolución, puesto que los resultados deseados se obtienen por simple manejo de unas expresiones cerradas y sencillas de manipular y de calcular. 1.4. Desarrollo de la Tesis En el primer capítulo se ha planteado el problema de la obtención de una herramienta útil en el problema del diseño de dispositivos ATM y se han detallado las principales características del bien conocido Modo de Transferencia Asíncrono. En el capítulo 2 se modela el comportamiento de un nodo de conmutación ATM genérico mediante el sistema de colas M/D/s haciendo la aproximación de considerar que el tiempo de servicio de las celdas ATM es continuo. Con esta premisa se profundiza sobre las hipótesis realizadas para utilizar dicho modelo y se estiman la ocupación media de la cola y la probabilidad de pérdida de celdas del sistema de capacidad limitada M/D/s/s+B. A continuación, se presenta una aproximación para ambos parámetros, en el caso de tener dos niveles de prioridad, diferenciando entre tráfico determinista y estadístico. Finalmente, se muestran resultados numéricos para validar las expresiones propuestas, mediante la comparación con los obtenidos del simulador ADSIM, ATM Devices Simulator (con tiempo de servicio continuo) desarrollado también en esta tesis y descrito en el Anexo 4. En el capítulo 3 se extienden los resultados anteriores al caso de tener tiempo de servicio discreto, como corresponde al servicio de celdas ATM de longitud fija sobre una base temporal ranurada en intervalos del tiempo de servicio de una celda. Se propone un esquema de cinco niveles de prioridad contemplando las cinco clases principales de servicio que ofrece ATM. Se comparan los resultados de la aproximación propuesta con resultados exactos cuando se dispone de ellos (Anexo V) y en caso contrario (5 niveles de prioridad) con los obtenidos del simulador ADSIM (tiempo de servicio discreto y cinco niveles de prioridad). En el capítulo 4 se presenta una tecnología de red introducida en 1997 por el ATM Forum denominada Multiplexación Inversa para ATM o IMA (Inverse Multiplexing for ATM) [ATM97]. Esta técnica permite combinar varios enlaces T1/E1 resultando un único canal lógico de datos con tasa igual al agregado de los anchos de banda T1/E1 menos una pequeña cantidad debida a overhead de control. IMA es una alternativa económicamente viable para acceder a la red ATM utilizando la infraestructura disponible. Se describe el funcionamiento del dispositivo IMUX (Inverse Multiplexer) y la problemática asociada a éste a la hora de plantear el modelo analítico que corresponda a su comportamiento, debido a la inserción de celdas de control y de relleno. En el capítulo 5 se presenta un modelo para la evaluación de la probabilidad de pérdida de celdas en el dispositivo IMUX, a partir de la obtención de la carga adicional introducida por 1-10 Introducción dicho dispositivo. Los resultados de la aproximación propuesta se comparan con los obtenidos del simulador SIMUX desarrollado con anterioridad en el Departamento de Matemática Aplicada y Telemática de la UPC. Dicho simulador se describe, a modo de completar toda la documentación de esta tesis, en el Anexo III. En el capítulo 6, conocido bien el dispositivo IMUX, se propone un modelo íntegramente analítico y más sencillo de resolver para la evaluación de prestaciones en el IMUX. Como primera opción se modela el comportamiento del IMUX mediante un sistema de colas con único servidor, M/D/1 con tiempo medio de servicio igual a la tasa de decisión de salida de las celdas del dispositivo IMUX, IDCR (IMA Data Cell Rate). Por otro lado, se modifica la semi-cadena de Markov para el sistema M/D/1 adaptándola a las características propias del IMUX. Además, se analizan minuciosamente por separado todos los efectos que tienen lugar en el dispositivo debido a la inserción de las celdas de control y de relleno. Finalmente, se propone el modelo analítico consistente en dos expresiones que aproximan la probabilidad de pérdida de celdas ATM y el tiempo medio de espera en la cola que sufren dichas celdas. En el capítulo 7 se remarcan las conclusiones más importantes de este trabajo de investigación y se proponen las líneas de actuación que quedan abiertas. Finalmente se adjuntan cinco anexos introducidos a continuación. En el Anexo I se obtienen las probabilidades de estado de un sistema M/D/1/N. En el Anexo II se presenta el efecto que se produce en los sistemas de colas con servicio determinista al considerar que el tiempo de servicio es discreto. En una cola con tiempo de servicio discreto se produce una acumulación de celdas en la cola de entrada del sistema durante el intervalo temporal de servicio. Esta acumulación de celdas, además produce la existencia de un CLR adicional con respecto al CLR de una cola con tiempo de servicio continuo. Se presenta una aproximación al número medio de celdas que ingresan en la cola y a la probabilidad de pérdidas adicional presentes en un sistema de colas con tiempo de servicio discreto. En el Anexo III se referencia el entorno de simulación SIMUX (Simulador IMUX) para evaluar el comportamiento del dispositivo IMUX. En el Anexo IV se presenta el entorno de simulación ADSIM (ATM Devices SIMulator) para el estudio del sistema de colas M/D/s/s+B con esquema de prioridades. En el Anexo V se obtienen de manera exacta las probabilidades de estado de un sistema M/D/s/s+B. Se halla el número medio de unidades en cola, el tiempo medio de espera en la misma y la probabilidad de pérdida de celdas. 1-11 Capítulo 1 1.5. Artículos publicados A continuación se presenta la serie de publicaciones a las que ya ha dado lugar este trabajo de tesis, así como algunas actualmente en proceso de revisión: [AGU97] M. Aguilar, F. Barceló, J. García Haro, “Estimación de los parámetros de calidad para distintos tráficos en nodos MTA con enlaces múltiples”, Jornadas de Ingeniería Telemática, Jitel’97, pp. 233-240, 15-17 Septiembre 1997, Bilbao. [AGU98a] M. Aguilar, F. Barceló, P. Iserte, “Approximation to the CLR in ATM switches with multiserver output discrete queues and priority”, IFIP Workshop TC6, ATM’98, pp. 63/1-63/10, 20-22 Julio 1998, Ilkley, U.K.. [AGU98b] M. Aguilar, M. Postigo, J. García Haro, “Estudio sobre parámetros de calidad en Multiplexores Inversos ATM”, URSI’98, pp. 647-648, 16-18 Septiembre 1998, Pamplona. [AGU98c] M. Aguilar, M. Postigo, J. García Haro, “Multiplexores Inversos ATM: Operación, Aplicaciones y Aspectos de Planificación y Evaluación de Prestaciones”, VIII Jornadas de I+D en Telecomunicaciones, TELECOM I+D’98, pp. 249-258, 28-29 Octubre 1998, Barcelona. [AGU98d] M. Aguilar Igartua, J. García Haro, M. Postigo Boix, “Multiplexores Inversos ATM: Operación, Aplicaciones y Modelo de Prestaciones para la estimación del CLR”, Report Interno nº 01/33/98 en el Departamento de Matemática Aplicada y Telemática de la Universidad Politécnica de Cataluña, Noviembre 1998, Barcelona. [AGU99a] M. Aguilar-Igartua, J. García-Haro, M. Postigo-Boix, “Inverse Multiplexing for ATM. Operation, Aplications and performance Evaluation for the Cell Loss Ratio”, 2nd International Conference on ATM, ICATM’99, pp. 472-481, 21-23 June 1999, Colmar, France. [AGU99b] M. Aguilar Igartua, J. García Haro, M. Postigo Boix, “Multiplexores Inversos ATM: Funcionamiento, Configuraciones de Red y Modelo de Prestaciones para la Estimación de la Probabilidad de Pérdida”, II Jornadas de Ingeniería Telemática, JITEL’99, pp. 3-10, 15-17 Septiembre 1999, Madrid. [AGU99c] M. Aguilar Igartua, J. García Haro, M. Postigo Boix, “Modelo analítico para la evaluación de prestaciones de un Multiplexor Inverso ATM con tráfico Poissoniano”, Report Interno nº 08/33/99 en el Departamento de Matemática Aplicada y Telemática de la Universidad Politécnica de Cataluña, Noviembre 1999, Barcelona. [BAR97a] F. Barceló, J. Paradells, M. Aguilar, “Mean Waiting Time in the M/H2/s Queue: Application to Mobile Communications Systems”, 15th IMACS World Congress, Berlin, 24-29 August 1997. 1-12 Introducción [BAR98] F. Barceló, M. Aguilar, “Approximation to the M/D/s queue with finite buffer: Application to the CLR in ATM nodes”, International Teletraffic Seminar (ITC), St.Petersburg, pp. 401-409, Junio 1998. Actualmente en proceso de revisión: [POS99a] M. Postigo-Boix, J. García-Haro, M. Aguilar-Igartua, “Inverse Multiplexing for ATM. Performance Evaluation under different Traffic Patterns”, submitted to the IEEE ICC’2000. (En proceso de revisión). [POS99b] M. Postigo-Boix, J. García-Haro, M. Aguilar-Igartua, “Inverse Multiplexing for ATM. Technical Operation, Applications and Performance Evaluation Study”, submitted to the Telecommunication Systems. (En proceso de revisión). [POS99c] M. Postigo-Boix, J. García-Haro, M. Aguilar-Igartua, “IMA. Technical Foundations, Applications and Performance Analysis”, submitted to the Computer Networks. (En proceso de revisión). [POS99d] M. Postigo-Boix, J. García-Haro, M. Aguilar-Igartua, “Inverse Multiplexing for ATM. Technical Operation, Applications and Performance Evaluation Study”, submitted to the Fifth IEEE Symposium on Computers and Communications, ISCC'2000, Antibes-Juan les Pins, France, 4-6 July, 2000. (En proceso de revisión). 1-13 Capítulo 2. Modelo analítico basado en el sistema de colas M/D/s para caracterizar parámetros de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio continuo 2.1. Introducción En este capítulo se modela el comportamiento del sistema de colas de un nodo de conmutación ATM como un sistema de colas con capacidad limitada. El nodo se sitúa en un nivel alto en la jerarquía de red, por lo que supondremos tráfico agregado. Asimismo, modelaremos el nodo como una cola con varios enlaces de transmisión. Presentaremos un método analítico para computar de una manera sencilla el valor medio del número de celdas en la cola del nodo, que llamaremos QD y para aproximar la probabilidad de pérdida de celdas, CLR (Cell Loss Ratio). Uno de los problemas relacionados con la evaluación de redes basadas en el Modo de Transferencia Asíncrono (ATM) es la ausencia de modelos sencillos que permitan obtener una primera aproximación de los parámetros de calidad a que están sometidos los distintos tráficos de la red. Así abundan los modelos que consideran una caracterización precisa de dichos tráficos, diferente para CBR (Constant Bit Rate), rt-VBR (real-time Variable Bit Rate), nrt-VBR (non real- time Variable Bit Rate), ABR (Available Bit Rate) y UBR (Unspecified Bit Rate), pero cuyo cómputo práctico puede ser altamente complejo. Para obtener un modelo realista que tenga en cuenta los parámetros de calidad de servicio que requiere cada uno de estos tipos de tráfico, puede ser útil tener en cuenta las siguientes situaciones extremas: 2-1 Capítulo 2 - Colas de capacidad infinita: suele aceptarse esta hipótesis para el caso de tráfico poco sensible al retardo y a la variación de retardo, en que puede asumirse la situación de pérdidas muy bajas y cola de capacidad ilimitada. - Colas de capacidad nula, para tráfico determinista muy sensible a los retardos y a sus variaciones. - Un único servidor: de este modo se modela la multiplexación a la vez que se ignora la posibilidad de múltiples enlaces entre nodos que puede producirse en niveles altos de la red. Por lo tanto, si en un nodo de conmutación ATM hay celdas pertenecientes a diferentes clases de servicio, será necesario incorporar hipótesis que supongan tener en cuenta el tamaño limitado de las colas. Este tamaño debe ser en general lo suficientemente pequeño para evitar CTD (Cell Transfer Delay) altos y a la vez lo suficientemente grande para mantener CLR (Cell Loss Rate) bajos. En cualquier caso es posible (y en la práctica necesario) tener un tamaño distinto de cola en función del tipo de tráfico: más pequeño para tráficos deterministas en general más sensibles a los problemas de retardo, y más grande para tráficos estadísticos. Incluso sería posible tener diferentes tamaños para distintos tráficos que aun siendo de la misma clase (determinista o estadístico) tengan contratados parámetros de calidad diferentes. Este escenario no implica la necesidad de ubicar físicamente una memoria para cada tipo de tráfico, sino que una misma cola puede ser compartida por todos ellos, siempre que se descarten las celdas en función del tráfico al que pertenecen y del límite de cola para dicho tráfico. Consideramos también, la posibilidad de múltiples enlaces físicos entre dos nodos de la red lo cual debe modelarse como un sistema multi-servidor. A su vez, la existencia de varios enlaces puede servir para modelar el caso en el que un nodo tiene conexión con varios nodos remotos, ignorándose en la fase de diseño, en la cual se realiza la evaluación, qué parte de la carga está destinada a cada uno de ellos. Es abundante la literatura existente sobre multiplexores ATM en los que se utilizan modelos G/D/1 para modelar el multiplexor en el nodo de acceso. En estos modelos, G suele representar algún proceso de alto coeficiente de variación (Markov Modulated Poisson Process MMPP, Pareto, ON-OFF, Weibull, etc). Sin embargo, en los conmutadores ubicados en niveles altos de la jerarquía de la red ATM cabe esperar un tráfico agregado que hoy por hoy todavía no ha sido caracterizado, en parte debido a la escasez de redes ATM lo suficientemente cargadas o con cargas que puedan ser consideradas típicas, tanto en volumen como en tipos de tráfico que transportan. También en estos niveles altos es donde cabe esperar la necesidad de modelos con múltiples servidores que representen las diversas fibras que conectan dos nodos entre sí o bien las salidas de un nodo hacia varios nodos remotos. En este capítulo se modela el sistema de colas de un nodo de conmutación ATM como una cola M/D/s de capacidad finita. A diferencia de la mayoría de trabajos que proponen evaluaciones de multiplexores ATM sobre la base de soluciones exactas para modelos más o menos alejados de la realidad, como es el caso de los modelos G/D/1 sin cola o con cola infinita, los cálculos numéricos para evaluación que se proponen aquí son siempre aproximados. Desde 2-2 Mod. analítico basado en el sist. de colas M/D/s para caract. parám. de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio continuo una óptica de ingeniería consideramos que una aproximación es buena siempre que el error relativo en el que se incurre sea muy inferior a otros errores que forzosamente están presentes en el momento de realizar la evaluación o el dimensionamiento de la red. El contenido de los siguientes apartados es el siguiente: en el apartado 2.2 se describe el modelo utilizado para el sistema de colas de un nodo de conmutación, el apartado 2.3 contiene la forma de cálculo del número de celdas que ocupan la cola, en el apartado 2.4 se presenta el cálculo aproximado del CLR así como los resultados numéricos de la simulación y el análisis, y en el apartado 2.5 se ofrece un método de estimación del CLR cuando se utilizan diferentes prioridades. 2.2. Modelo del sistema de colas de un nodo de conmutación: Llegadas de Poisson, múltiples servidores, cola de capacidad limitada y tiempo de servicio continuo En este apartado, se profundiza sobre las hipótesis del modelo que en líneas se han mencionado en la introducción. La forma en que caracterizamos el sistema de colas de un nodo de conmutación de nivel alto de la red ATM (no de acceso) es la que se representa en la Figura (2-1), es decir mediante un sistema de colas M/D/s con capacidad limitada B. La justificación de la duración determinista del tiempo de servicio es clara dado que cada celda ATM de 53 octetos tarda exactamente 53x8/vt segundos en ser transmitida, siendo vt la velocidad de transmisión de cada enlace en bps. s servidores iguales B, Buffer finito λ, Proceso de llegadas de Poisson Tiempo de servicio determinista Figura 2-1: Modelo del sistema de colas de un nodo de conmutación ATM. Parece obvio que el proceso de llegadas de celdas al nodo constituye un proceso discreto, dado que cada celda puede llegar únicamente sobre una base de tiempos ranurada. Sin embargo al nivel de tráfico agregado en un nodo de alta jerarquía que se supone que recibe una carga de tráfico alta, la aproximación mediante un sistema de cola en tiempo continuo para el proceso de llegadas no puede alejarse de la realidad. Así, supondremos que la llegada de celdas al sistema, se va a producir de forma continua. La aproximación introducida por el modelo presentado en este capítulo, radica principalmente en permitir que el servicio de las celdas se inicie en cualquier instante de tiempo (tiempo de 2-3 Capítulo 2 servicio continuo) más que en admitir la llegada en cualquier instante, ya que en realidad el servicio de la celda a la velocidad de transmisión del enlace sólo puede iniciarse en los inicios de slot (tiempo de servicio de una celda). En el capítulo 3, presentamos una aproximación al cálculo del número medio de celdas en la cola del nodo y de la probabilidad de pérdida de celdas, CLR para el sistema de colas M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto. Sin embargo, como dicho modelo analítico es una evolución y ampliación del modelo que se describe aquí, hemos considerado necesaria su exposición. Por lo tanto, la aproximación que veremos a continuación es adecuada para un sistema de colas con tiempo de servicio determinista (en cuanto a que el tiempo de servicio es constante) pero no discreto (dado que se permite el inicio del servicio en cualquier instante y no sobre una base temporal ranurada como debería ser). • Llegadas de Poisson La caracterización del tráfico en el ámbito de la fuente (a la entrada del multiplexor) ha sido objeto de múltiples estudios y discusiones. Sin embargo, la caracterización del tráfico agregado basada en herramientas analíticas es actualmente objeto de investigación, pues puede resultar tremendamente compleja por mezclarse tráficos deterministas tipo CBR (NxD) con tráficos estadísticos tipo VBR que han probado poseer ciertas características fractales y de autosimilitud. Ante esta situación, se ve como necesario el caracterizar este tráfico sobre la base de medidas reales, pero es difícil encontrar una red con alta carga ATM, que a la vez pueda considerarse que lleva una combinación típica de clases de tráfico. Si bien los tráficos de fuente presentan una distribución muy dispersa, a los conmutadores de nivel alto llega el tráfico ya muy mezclado y con toda seguridad procesado por espaciadores que habrán suavizado la gran dispersión que puede hallarse en algunas clases de tráficos de fuente. Ante esta situación el proceso de llegadas de Poisson resulta por lo menos una hipótesis razonable. Ante la ignorancia de la realidad, el tráfico de Poisson no puede considerarse ni mucho ni poco disperso y por su característica de “proceso sin memoria” permite obtener conclusiones que de otro modo resultarían muy complejas o imposibles. • Múltiples servidores El modelo con servidor único tiene aplicación en los estudios orientados al Control de Admisión de Llamada (CAC) comprobando si existe la posibilidad de aceptar una nueva conexión sobre la única línea de salida del multiplexor manteniendo las calidades de servicio de todas las conexiones existentes y de la nueva. Considerar un sistema de colas con múltiples servidores (s), permite analizar el caso más general de múltiples enlaces entre los nodos situados en niveles altos de la red ATM, donde tiende a ser jerárquica y mallada en contraposición a lo que ocurre en el acceso donde la topología es en estrella. A diferencia de lo que ocurre en los multiplexores, a la salida del nodo de conmutación pueden existir diversos enlaces con el mismo nodo remoto. También es probable que existan diversas conexiones con diversos nodos remotos y que desconozcamos qué tráfico va a cada nodo remoto, por lo que lo más razonable es entonces asumir que cada enlace recibe una 2-4 Mod. analítico basado en el sist. de colas M/D/s para caract. parám. de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio continuo parte igual del tráfico. Es importante considerar que el modelo M/D/s solamente será útil cuando los diversos enlaces compartan la misma cola para el acceso a cualquiera de ellos. • Cola de capacidad limitada La capacidad de la cola que posee el nodo conmutador es una variable indispensable en el modelo para la evaluación de la calidad del servicio. En el caso de tráficos deterministas como puedan ser los CBR, es necesario una cola de capacidad muy limitada, y se prefiere descartar un número algo mayor de celdas que elevar el CDV. Hay que observar que el CDV máximo es proporcional a la capacidad de la cola en caso de que solamente exista un tráfico determinista. Así el máximo retardo que puede sufrir una celda es igual a la capacidad de la cola B multiplicada por el tiempo que tarda en transmitirse una celda y dividido por el número de servidores (despreciamos otros tiempos de orden menor presentes en el conmutador). Éste es el CDV máximo, ya que el mínimo retardo que sufre la celda en el nodo es nulo, en caso de que la cola esté vacía cuando llega la celda. Nótese que en cualquier caso nos estamos refiriendo únicamente al CDV introducido por el nodo en cuestión, que no debe ser confundido con el CDV extremo a extremo para el tráfico que se considera ya que éste puede atravesar múltiples secciones. Para calcular el CDV global pueden usarse herramientas basadas en redes de colas [CHO95]. Al nivel de CAC es habitual la hipótesis de que la cola tiene capacidad nula cuando se trata con tráficos deterministas. Obviamente esta hipótesis representa un peor caso que tiene en cuenta el hecho de que la cola es muy pequeña. Para tráficos estadísticos, como ABR, suele asumirse un modelo con cola infinita. Con dicho modelo aparece CLR=0 al no existir pérdidas. 2.3. Estimación de la ocupación media de la cola La primera aproximación a la evaluación de la calidad del conmutador nos la proporcionará el valor medio del número de celdas que ocupan la cola, suponiendo que la cola tuviera capacidad infinita. La relación de dicho valor medio con la capacidad real de la cola, nos ofrece una primera idea intuitiva del orden de magnitud de las pérdidas y nos puede servir como referencia a la hora de decidir la capacidad de la cola. Dado que en nuestro modelo consideramos el CDV y el tamaño de la cola B proporcionales, es claro que a menor CDV mayor será el CLR por ser menor B. Es bien conocido que en una cola infinita M/M/s los valores medios del número de unidades en la cola y el tiempo de espera en cola son respectivamente: = ⋅ ρ Q M PD 1− ρ Q (2-1) W = M M = PD ⋅ d = d PD ⋅ ( ) , donde λ = ρ ⋅ s = ρ ⋅ s ⋅ µ λ s − A s ⋅ 1− ρ d 2-5 Capítulo 2 PD representa la probabilidad de demora que puede calcularse como la función Erlang-C (s, ρ⋅s) que expresamos en la Ecuación (2-4). La variable ρ=A/s representa la carga por servidor del sistema (A es el tráfico total ofrecido al conmutador). La duración media del servicio, en este caso fija, se representa por d=1/µ y es el tiempo que tarda la celda en ser transmitida, siendo entonces µ la tasa media de servicio de las celdas. A continuación, se describe el procedimiento que el Dr. Francisco Barceló Arroyo siguió en [BAR97b] para obtener una aproximación a la longitud media en la cola infinita M/D/s. Es conocida la siguiente aproximación para el número medio de unidades en cola [BAR97b, COS76, KIM94]. Q D = Q M × F  = 1 + (1− ρ)(s −1)( 4 + 5s − 2) F 1 ρ media y alta   2  16ρs  (2-2) = (1− ρ)s ρ F + ρ baja s +1 2 El factor F es una excelente aproximación que proporciona errores relativos del ρ media y alta orden del 1% si la carga es media o alta (0.5≤ρ≤0.9). Pero para cargas muy bajas la aproximación es inconsistente, ya que el número medio de unidades en la cola con servicio determinista aparece mayor que en la cola con servicio exponencial, lo cual no es posible. En tal caso de carga muy baja (ρ≤0.2 para s=2 y ρ≤0.7 para s=30) puede utilizarse la expresión F menos exacta, ρ baja pero consistente en todo el rango de cargas posibles. Un estudio exhaustivo sobre lo dicho en este párrafo, se halla en [BAR97b, pp. 52-56], donde se desarrollan las expresiones de la Ecuación (2-2). 2.4. Estimación de la probabilidad de pérdida de celdas, CLR (Cell Loss Ratio) Asumiendo que las celdas llegan al sistema según un proceso de Poisson, se cumple la propiedad PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) [TIJ94, pág. 75], por la que la estadística de las unidades en cola es la misma que la estadística de los tiempos, con lo que la probabilidad de pérdida de celdas o CLR, coincide con la probabilidad del estado de congestión del sistema. En este caso es forzoso tener en cuenta el tamaño limitado de la cola ya que de lo contrario no puede calcularse el CLR que aparece como nulo. La aproximación propuesta al CLR que veremos a continuación para el cálculo de dicha probabilidad de congestión, está basada en el método citado pero es puramente empírica, si bien está basada en algunos supuestos que resultan claramente intuitivos. 2-6 Mod. analítico basado en el sist. de colas M/D/s para caract. parám. de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio continuo Las probabilidades de estado para la cola M/M/s tienen la siguiente expresión [GRO74, KLE75]:  (ρ ⋅ s)k  p0 ⋅ , k ≤ s 1 p =  k! k ( p =  ρ ⋅ s)k 0 s−1 (ρ ⋅ s)k (ρ ⋅ s)s (2-3)  p0 ⋅ , k ≥ s +  s!⋅s k −s ∑ k=0 k! s!⋅(1− ρ) La probabilidad de demora, PD, conocida también como función Erlang-C(c, ρ⋅c) es [KLE75, pp. 103]: ∞ s = ∑ = ⋅ (ρ ⋅ s) = 1 ⋅ (ρ ⋅ s)s PD pk p0 s!⋅(1− ρ) s−1 (ρ ⋅ s)k (ρ ⋅ s)s s!⋅(1− ρ) (2-4) k =s ∑ + k =0 k! s!⋅(1− ρ) Entonces, dado que se asume un proceso de llegadas de Poisson el CLR coincide con la probabilidad de congestión, es decir con la probabilidad de que la cola esté completamente llena. Así, la probabilidad de pérdida de celdas para la cola M/M/s/s+B puede expresarse como: = (ρ ⋅ s)s+B CLRM / M / s / s+B ps+B = p0 ⋅ = PD ⋅ ρ B ⋅ (1− ρ) s!⋅s B (2-5) Nuestra tarea consiste ahora en encontrar una carga ρ que proporcione una buena aproximación para la probabilidad de congestión. Reproducimos a continuación la obtención del valor de la carga ρ eq que en una cola infinita M/M/s proporcionaría el mismo valor medio en número de unidades en cola que para la cola infinita M/D/s, tal y como se hizo en [AGU97] y en Q Q [KIM93]. Para ello igualamos M (ρ eq ) en la Ecuación (2-1) con D (ρ ) en la Ecuación (2-2), PD PD obteniendo una ρ eq igual a: ρ eq = ⋅ ρ ρF F ⇒ ρ = 1− ρ eq 1− ρ eq 1− ρ + ρF (2-6) De este modo, a partir de las Ecuaciones (2-5) y (2-6) podemos escribir la probabilidad de congestión identificada con el CLR en la cola M/D/s/s+B (tiempo de servicio continuo) como: CLR B M / D / s / s+B ≅ PD ⋅ ρ eq ⋅ (1− ρ eq ) (2-7) 2-7 Capítulo 2 2.5. Comparación de los resultados numéricos de la simulación y el análisis En este apartado se comparan los resultados de simulación y análisis (Ecuación (2-7)) para el CLR en una cola M/D/s/s+B con tiempo de servicio continuo. Las pruebas deben realizarse en un margen amplio de valores de carga (ρ), número de canales (s) y capacidad de la cola (B). Para mostrar la utilidad de la estimación presentada en el entorno ATM hay que trabajar con valores que puedan acercarse a la realidad de los sistemas ATM, lo cual implica trabajar con situaciones de CLR inferiores a 10-6. Hemos trabajado con CLR de hasta 10-5 (procesando 6 millones de celdas en cada simulación). De este modo hemos probado que el ajuste es bueno, y la generalización de los resultados obtenidos para CLR<10-5 suponen una conjetura razonable. Para obtener valores simulados del CLR inferiores a 10-5, sería necesario introducir técnicas de aceleración del tiempo de computación para eventos raros (como es la probabilidad de pérdida de una celda) [VIL91]. Por otra parte, tal y como se ha mencionado la simulación realizada permite el inicio de un servicio (transmisión de una celda) en cualquier instante de tiempo, es decir se ha realizado una simulación sobre tiempo de servicio continuo en lugar de discreto como sucede en un nodo real. No obstante, en el capítulo 3, se analizará la cola M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto y la aproximación propuesta será comparada con valores de simulación obtenidos también sobre la base de tener un tiempo de servicio discreto. En la Figura (2-2) se representa un caso con s=5 enlaces y tamaño de la cola B variable, utilizando la carga por canal ρ como parámetro. Debe mencionarse que en las pruebas realizadas el error relativo en que se incurre es de un máximo de un 25%, siempre que se consideren valores de B por encima del número medio de celdas que ocupan la cola. CLR 0.100000 0.010000 0.001000 0.000100 Sim(0.95) Calc(0.95) Sim(0.9) 0.000010 Calc(0.9) Sim(0.8) Calc(0.8) 0.000001 Tamaño de la cola B Figura 2-2: CLR calculado según la estimación propuesta y resultado de simulación (5 enlaces). La Figura (2-3) muestra también el CLR calculado y obtenido mediante simulación para un caso con s=10 enlaces variando la carga ρ y utilizando como parámetro la capacidad de la cola, B. Obsérvese que las velocidades de entrada al nodo (vIN) y de transmisión de cada enlace (vOUT) influyen en el CLR sólo en la medida de la proporción en que se encuentran (a través de ρ y s). 2-8 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 Mod. analítico basado en el sist. de colas M/D/s para caract. parám. de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio continuo v A = IN = ρ ⋅ s [Erlang] v (2-8) OUT CLR 0.10000 Simulación B=20 Calculado B=20 Simulación B=10 0.01000 Calculado B=10 0.00100 0.00010 0.00001 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 Carga Figura 2-3: CLR en función de la carga para un nodo con 10 enlaces de salida. 2.6. Diferenciación mediante prioridades. Método de estimación y resultados numéricos En este apartado se propone diferenciar los tráficos determinista y estadístico mediante un sistema de prioridades HOL (Head of Line). Este método de prioridad sin interrupción ubica una celda prioritaria en el nodo por delante de todas las celdas con nivel de prioridad inferior y detrás de todas las de prioridad superior, manteniendo el carácter FIFO (First In First Out) de la cola. De esta manera, utilizando prioridades en la cola del nodo ATM es posible obtener calidades de servicio diferenciadas para diferentes tráficos. Parece razonable considerar las celdas pertenecientes a tráfico determinista como de mayor prioridad y las de tráfico estadístico de prioridad inferior. Debido a las restricciones de CDV el tráfico determinista dispone de una cantidad de la cola mucho menor que el estadístico y parece lógico priorizar dicho tráfico para evitar CLR excesivos. De forma más general cabe esperar que el nivel de prioridad sea independiente de la característica determinista o no del tráfico y en cambio sea asignado en función de la calidad (CLR y CDV deseados). Una particularización de lo anterior puede ser el caso con dos tipos de tráfico: CBR y ABR. El tráfico CBR requiere en general un CDV bajo y por tanto B pequeño, mientras que el tráfico ABR es muy poco sensible a retardos y debe poseer espacio en cola B grande para minimizar su CLR. La cola compartida tiene, por tanto, dos umbrales BCBR y BABR, como puede verse en las Figuras (2-4) y (2-5), uno para cada tipo de tráfico y mayor para ABR (pudiendo considerar éste último como el tamaño total de la cola). Dichos umbrales actúan de manera que si una celda CBR llega y la cola está ocupada por encima del umbral para CBR, ésta es descartada (obsérvese que si no fuera descartada llegaría al enlace con un retardo mayor que el CDV contratado para CBR). La asignación de un mayor nivel de prioridad al tráfico CBR permite en este caso mantener su CLR a un nivel bajo que no sería posible alcanzar sin prioridad. 2-9 Capítulo 2 ... ... BABR BCBR Figura 2-4: Umbral de descarte para las celdas prioritarias, BCBR. B1 Alta prioridad B a j a p r i o r i d a d B2 Figura 2-5: Cola compartida para celdas de dos niveles de prioridad diferentes. • Método de estimación La forma que utilizamos para aplicar la estimación a la probabilidad de pérdida de celdas de la Ecuación (2-7) para la cola M/D/s/s+B en el caso de que existan dos niveles de prioridad, es extremadamente sencilla y basada en el algoritmo propuesto por el Dr. Francisco Barceló Arroyo en [BAR96]. Suponemos que el tráfico prioritario supone un (100⋅p)% del total, por lo que el tráfico no prioritario será el (100⋅(1-p))% restante: - El número medio de celdas prioritarias en cola se calcula aplicando las Ecuaciones (2-1) y (2-2) utilizando la probabilidad de demora para el total de carga. Sin embargo la variable ρ se sustituye únicamente por la carga prioritaria, puesto que las celdas prioritarias no notan la presencia de las no prioritarias, no les afecta su presencia ya que son desplazadas hacia atrás por las celdas prioritarias. Como la carga prioritaria (p⋅ρ) puede ser baja debe utilizarse F en lugar de F expresados ambos factores en la Ecuación (2-2). ρ baja ρ media y alta De hecho, el margen de valores de la carga analizados es 0.5≤ρ≤0.9, por lo que para un valor de p=0.5, 0.25≤p⋅ρ≤0.45. La variable PD indica la probabilidad de demora de la carga global en una cola M/M/s, Ecuación (2-4). D = M ⋅  (1− p ⋅ ρ )⋅ s + p ⋅ ρ  = ⋅ p ⋅ ρ ⋅  (1− p ⋅ ρ )⋅ s p ⋅ ρ Q1 Q1   PD  +   s +1 2  1− p ⋅ ρ  s +1 2  (2-9) - Se obtiene el número medio total de celdas en cola mediante la Ecuación (2-2), con el parámetro F válido para media y alta carga. El número medio de celdas no prioritarias Q D 2 es la diferencia entre el total y el número medio de celdas prioritarias en la cola. Q D = Q D 1 + Q D 2 (2-10) 2-10 Mod. analítico basado en el sist. de colas M/D/s para caract. parám. de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio continuo - El CLR para el tráfico prioritario se calcula aplicando la Ecuación (2-7) con la probabilidad de demora global y la carga equivalente expresada en la Ecuación (2-6) considerando solamente tráfico prioritario. El tamaño de la cola es el disponible para tráfico prioritario, BCBR. = p ⋅ ρF (1 - p ⋅ ρ )⋅ s ρeq1 donde F = + p⋅ρ 1 − p ⋅ ρ + p ⋅ ρF s + 1 2 (2-11) CLR1 = PD ⋅ (1− ρ eq1 )⋅ ρ BCBR eq1 (2-12) - Para hallar el CLR del tráfico no prioritario se aplica directamente la Ecuación (2-7) con el tamaño de la cola total, BABR y la carga equivalente de la Ecuación (2-6). • Resultados numéricos En la Figura (2-6) se representan los CLR para tráfico prioritario y normal (p y n en la gráfica) en un nodo con s=10 enlaces y carga del 90%. De todas las pruebas realizadas, se presentan aquí los resultados para un tamaño total de la cola que es cuatro veces el umbral de tamaño para descartar celdas prioritarias (B2=4⋅B1) y que el tráfico de cada nivel de prioridad representa el 50% de la carga total (p=0.5). Se ha utilizado el mismo tipo de simulación que en la sección anterior, esto es servicio de las celdas en tiempo continuo. Se han realizado numerosas simulaciones variando los parámetros de carga (ρ) y proporción (p) en la que se encuentran los tráficos de ambas clases, obteniéndose en todas ellas resultados similares de precisión para la aproximación propuesta, siendo en todos los casos valores del mismo orden de magnitud. CLR 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 Sim(p) Calc(p) 0.00001 Sim(n) Calc(n) 0.000001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 B, 4xB Figura 2-6: CLR para cola compartida con dos niveles de prioridad, s=10 enlaces y ρ=0.9. 2.7. Conclusiones En este capítulo, se ha analizado un método para realizar un primera estimación de la probabilidad de pérdida de celdas en un nodo de conmutación ATM suficientemente genérico 2-11 Capítulo 2 situado en un nivel jerárquico de multiplexación alto de la red. Las hipótesis de partida (llegadas de Poisson, múltiples enlaces) son adecuadas para modelar nodos de nivel alto recibiendo tráfico agregado. Los parámetros estimados son la media del número de unidades en cola y el CLR. Dichos parámetros pueden estimarse también en el caso de que haya dos tipos de tráfico con diferentes umbrales para descartar celdas en la cola. La estimación de la media del número de celdas en la cola de capacidad infinita es precisa, mientras que las del CLR en la cola de capacidad finita lo son menos, aunque en todos los casos son de cómputo extremadamente simple (fórmulas cerradas y compactas). Esta facilidad de cómputo las hace aptas para un primer acercamiento al problema de diseño, permitiendo evaluar rápidamente el orden de magnitud de la calidad de servicio obtenida. La carencia principal de las aproximaciones analizadas, es que se ha supuesto que el tiempo de servicio de la cola M/D/s/s+B sea continuo. En el próximo capítulo 3, se soluciona este punto. 2-12 Capítulo 3. Modelo analítico basado en el sistema de colas M/D/s para caracterizar parámetros de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio discreto 3.1. Introducción En este capítulo se presenta una aproximación al número medio de celdas en la cola y a la probabilidad de pérdida de celdas para una cola M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto y con un esquema de cinco prioridades. La aproximación que proponemos es fácil de calcular, por lo que resulta una herramienta eficiente para dimensionar nodos ATM en general. Hemos comparado los resultados analíticos obtenidos con la solución exacta al modelo M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto en el caso de no contemplar prioridades. La obtención de dicha solución exacta se desarrolla en el Anexo V y presenta una gran complejidad computacional especialmente si B es grande. En el caso de contemplar varios niveles de prioridad, hemos comparado los resultados del análisis con los obtenidos mediante el simulador ADSIM (ATM Devices Simulator) que hemos desarrollado y validado como se describe en el Anexo IV. En ambos casos la aproximación propuesta ofrece buenos resultados para el margen típico de valores que se utiliza comúnmente en la evaluación de prestaciones de los conmutadores ATM: carga media y alta (0.5≤ρ≤0.9) y un número no muy grande de servidores (1≤s≤16). 3-1 Capítulo 3 3.2. Modelo M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto y dos niveles de prioridad En primer lugar, haremos el análisis para dos niveles de prioridad, generalizando después a cinco, contemplando así las cinco clases de servicio que ofrece ATM. En el apartado 3.2.1 veremos una descripción del sistema de colas utilizado, como se hizo en el capítulo anterior. En los apartados (3.2.2) y (3.2.3) se presentan las estimaciones al número medio de celdas en la cola. Una aproximación a la probabilidad de pérdida de celdas se presenta en el apartado 3.2.4 para un esquema de dos niveles de prioridad. En el apartado 3.3 se extiende el modelo analítico propuesto al caso de disponer de cinco niveles de prioridad. En cada caso, se comparan los resultados analítico con resultados exactos (sin prioridad) o con resultados obtenidos mediante simulación (cuando se consideren prioridades). Como se hizo en el capítulo anterior, veremos una descripción del sistema de colas utilizado, se presentarán las estimaciones al número medio de celdas en la cola y a la probabilidad de pérdida de celdas y se compararán los resultados analíticos con resultados exactos (para los casos en que se disponga de ellos) y con resultados obtenidos mediante simulación. 3.2.1. Modelo del nodo de conmutación El modelo de nodo de conmutación que analizamos es el descrito en el apartado (1-1) Del capítulo 1, y puede verse reflejado en la Figura (1-1). La cola que evaluamos es una M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto. Las características de esta cola son las mismas que se explicaron y justificaron en el capítulo 2: llegadas de Poisson, múltiples servidores, cola de capacidad finita, esquema de prioridades sin interrupción y disciplina de servicio FIFO para cada prioridad. La principal diferencia en el modelo analítico que se presenta en este capítulo, radica en que el tiempo de servicio se ha considerado que es discreto, como realmente sucede en la operación de un conmutador ATM. A continuación, vamos a analizar con más detalle qué significa decir que el tiempo de servicio es discreto. Los tiempos de servicio de las celdas tienen duración constante, puesto que como ya se ha dicho, la celda tiene longitud fija de 53 bytes. Sin pérdida de generalidad, el tiempo medio de servicio se suele igualar a la unidad, y se toma como la unidad de tiempo (u.d.t.). Así, el tiempo está dividido en intervalos de longitud fija o slots de tal manera que el sistema funciona sobre una base temporal discreta o ranurada. Es decir, los servicios sólo ocurren al principio de cada slot (cuando como mucho las s primeras celdas de la cola empiezan a ser servidas) y las posibles salidas del sistema ocurren al final del slot temporal. Las celdas que llegan al sistema durante un slot temporal, ingresan en la cola, si es que hay capacidad suficiente. Esto no se produce en una cola con tiempo de servicio continuo, en que las celdas son servidas en cuanto llegan al sistema (si es que hay algún servidor libre). Esta acumulación de celdas durante el slot temporal, produce una acumulación adicional de celdas en la cola durante el tiempo de servicio, y en consecuencia la existencia de un CLR adicional con respecto al CLR de una cola con tiempo de servicio 3-2 Modelo analítico basado en el sist. de colas M/D/s para caract. parám. de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio discreto continuo. Se puede observar un esquema de lo dicho en la Figura (3-1). En el Anexo II se amplía esta explicación y se aporta un análisis para evaluar esta acumulación de celdas y el incremento en CLR que se produce, como consecuencia de considerar que el tiempo de servicio es discreto. Sea Ni el número de celdas en la cola al inicio del slot i, y sea ai el número de celdas que llegan al sistema durante el intervalo temporal equivalente al slot i. El número de celdas en la cola al final del slot i, Ni+1, será: Ni+1 = Min {Max{ Ni - s, 0} + ai, B} (3-1) a) Inicio slot B N b) Durante slot i ai c) Final slot Ni+1 Figura 3-1. Esquema que ilustra el tiempo de servicio discreto. 3.2.2. Estimación de la ocupación media de la cola. Tiempo de servicio discreto En este apartado, extendemos el procedimiento presentado en el capítulo 2, concretamente en el apartado 2.3, en que se describe la aproximación para calcular la longitud media de la cola M/D/s para tiempo de servicio continuo QD , expresada en la Ecuación (2-2). En el Anexo II se propone un método para computar de modo aproximado el número medio de celdas que llegan al sistema (para un proceso de llegadas de Poisson) durante todo un intervalo de servicio y que ingresan en cola, que denominamos Ndiscr . Dicho valor se puede aproximar, como se expresa en las Ecuaciones (II-3) y (II-4) del Anexo II, mediante la siguiente expresión: 1 L λi ⋅ e−λ λ Ndiscr ≅ ⋅∑ i ⋅ → 2 (3-2) i=1 i! L→∞ 2 3-3 Capítulo 3 donde L es el espacio libre que en media hay disponible para las celdas que llegan al sistema durante un intervalo de servicio. En el Anexo II, se demuestra que para un tamaño de cola suficientemente grande, (que para el rango de valores de carga y número de canales analizado λ puede considerarse a partir de B=12), Ndiscr ≅ . Este es aproximadamente el número medio de 2 celdas que llegan al sistema durante un slot temporal, como se propone en [CHU70]. Sumando las Ecuaciones (3-2) y (2-2), obtenemos una expresión para calcular la longitud media de la cola M/D/s para tiempo de servicio discreto: QD ≅ QM ⋅ λ ρ λ ρ ⋅ s F + = PD ⋅ ⋅ F + , donde λ = = ρ ⋅ s ⋅ µ = ρ ⋅ s 2 1− ρ 2 d ↑ (3-3) 1 µ ≡1 donde el parámetro F se expresa en la Ecuación (2-2). En las Figuras (3-2) y (3-3) vemos representado QD (la longitud media de la cola M/D/s) y WD (el tiempo medio de espera en cola) para tiempo de servicio discreto. Los puntos son los valores exactos para QD y WD obtenidos a partir de la resolución del sistema de B+1 ecuaciones y B+1 incógnitas expresadas en las Ecuaciones (V-3) del Anexo V, para un valor de B lo suficientemente grande para considerarlo como infinito (ese valor depende de la carga y número de canales, llegando a resolver sistemas de ecuaciones hasta 100x100). Las líneas, se obtienen de la Ecuación (3-3). De la comparación de estos resultados, podemos dar como muy válida la aproximación (3-3). Nótese que para un valor en particular de la intensidad de tráfico ρ, el tráfico total ofrecido al sistema A=ρ⋅s crece cuando el número de canales s crece, por lo que QD también crece. Sin embargo, WD decrece, debido a la relación de Little y que la tasa de llegadas λ también crece. Longitud media cola M/D/s Tiempo medio de espera en cola M/D/s 12 3,0 EXA (s=2) APR (s=2) EXA (s=4) APR (s=4) 10 2,5 EXA (s=8) APR (s=8) EXA (s=16) APR (s=16) 8 2,0 6 1,5 4 1,0 2 0,5 0 0,0 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 carga, ρ carga, ρ Figura 3-2. Longitud media de la cola M/D/s. Figura 3-3. Tiempo medio de espera en la cola M/D/s. Tiempo de servicio discreto. Tiempo de servicio discreto. 3-4 Q D W D Modelo analítico basado en el sist. de colas M/D/s para caract. parám. de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio discreto 3.2.3. Estimación de la ocupación media de la cola. Esquema con dos prioridades Extendemos el estudio realizado en el apartado (2-6) para el cálculo del número medio de celdas prioritarias (Q D 1 ) y no prioritarias (Q D 2 ) en la cola M/D/s al caso de considerar que el tiempo de servicio es discreto. Los valores Q D D 1 y Q2 , darán una idea de la capacidad necesaria de las colas para cada nivel de prioridad, a la hora de dimensionarlas. En primer lugar, calcularemos el número medio de celdas prioritarias en la cola, Q D 1 . Bastará añadir a la Ecuación (2-9) el número medio de celdas prioritarias que llegan al sistema durante un intervalo de servicio. D = M ⋅  (1− p ⋅ ρ )⋅ s λ + p ⋅ ρ  + 1 = ⋅ p ⋅ ρ ⋅  (1− p ⋅ ρ )⋅ s + p ⋅ ρ p ⋅ ρ ⋅ s Q1 Q1   PD   +  s +1 2  2 1− p ⋅ ρ  s +1 2  2 (3-4) donde p es el tanto por uno de celdas prioritarias y λ1=p⋅ρ⋅s es la tasa media de llegada de las celdas prioritarias. Para las celdas no prioritarias, la tasa media de llegada es λ2=(1-p)⋅ρ⋅s. El número medio de celdas no prioritarias en la cola, Q D 2 se obtiene combinando la siguiente expresión y la Ecuación (3-3), de tal modo que la única incógnita es Q D 2 . Q D = Q D 1 + Q D 2 (3-5) Las Figuras (3-4) y (3-5) representan la longitud media de la cola para celdas prioritarias (Q D 1 ) y no prioritarias (Q D 2 ), para igual proporción de celdas de cada tipo (p=0.5). Las Figuras (3-6) y (3-7) muestran los mismos valores, para un 25% de celdas prioritarias (p=0.25). Las líneas continuas se obtienen de las Ecuaciones (3-4) y (3-5) y los puntos se obtienen con el simulador descrito en el Anexo IV. Como puede observarse, la aproximación es muy cercana a los valores obtenidos mediante simulación. Longitud media de la cola (celdas prioritarias) Longitud media de la cola (celdas no prioritarias) p =50% p =50% 4,5 APR (s=2) SIM (s=2) 7,0 4,0 APR (s=4) SIM (s=4) 6,0 APR (s=8) SIM (s=8) 3,5 APR (s=16) SIM (s=16) 3,0 5,0 2,5 4,0 2,0 3,0 1,5 2,0 1,0 0,5 1,0 0,0 0,0 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 carga, ρ carga, ρ Figura 3-4. Número medio de celdas vs. carga para Figura 3-5. Número medio de celdas vs. carga para celdas prioritarias (p=50%). celdas no prioritarias (p=50%). 3-5 QD1 QD2 Capítulo 3 Longitud media de la cola (celdas prioritarias) Longitud media de la cola (celdas no prioritarias) p =25% p =25% 2,5 APR (s=2) SIM (s=2) 9,0 APR (s=4) SIM (s=4) 2,0 8,0 APR (s=8) SIM (s=8) 7,0 APR (s=16) SIM (s=16) 1,5 6,0 5,0 1,0 4,0 3,0 0,5 2,0 1,0 0,0 0,0 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 carga, ρ carga, ρ Figura 3-6. Número medio de celdas vs. carga para Figura 3-7. Número medio de celdas vs. carga para celdas prioritarias (p=25%). celdas no prioritarias (p=25%). 3.2.4. Estimación de la probabilidad de pérdida de celdas. Tiempo de servicio discreto y dos niveles de prioridad Para calcular la probabilidad de pérdida de celdas o CLR en la cola M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto, añadiremos a la expresión que aproxima la probabilidad de pérdida de celdas en la cola M/D/s/s+B con tiempo de servicio continuo (CLRcont) otra cantidad que aproxima la probabilidad de pérdida de celdas adicional debido a que el tiempo de servicio es discreto (CLRdiscr). Los resultados que se obtengan mediante el análisis propuesto, serán comparados mediante el simulador ADSIM (ATM Devices Simulator) que describimos en el Anexo IV, puesto que no se dispone de solución exacta cuando se contempla un esquema de prioridades, y en todo caso, sería muy laborioso plantear un sistema de ecuaciones que incorpora cinco niveles de prioridad. • Método de estimación En el capítulo 2 utilizamos la Ecuación (2-7) para computar el CLRcont. Sin embargo, en esta ocasión utilizaremos la excelente aproximación propuesta por el Dr. Toshikazu Kimura en [KIM93], cuyo proceso de obtención es más complejo a la vez que ofrece resultados ligeramente más exactos: B CLRcont = Ps+B ( PD M / D / s / s + B) ≅ (1 − ρ)  ρ  B  eq  (3-6) 1 − ρ  ρ    PD eq  donde el valor de la carga equivalente ρeq se obtiene del mismo modo que en el apartado 2.4 y cuya expresión es la Ecuación (2-6). Ahora introduciremos el esquema de dos prioridades, siguiendo los mismos pasos indicados en el apartado (2-6). El CLR para celdas prioritarias, CLRcont 1 se obtiene utilizando la Ecuación 3-6 QD1 QD2 Modelo analítico basado en el sist. de colas M/D/s para caract. parám. de calidad en nodos ATM. Tiempo de servicio discreto (3-6) donde ρeq1 se expresa en la Ecuación (2-11), p⋅ρ es la carga prioritaria y B1 es el umbral de descarte de las celdas prioritarias, indicado en la Figura (2-5). B CLRcont PD ≅ ( 1 1 − pρ)  ρ  1  B  eq1  (3-7) 1 − pρ ρ  1 PD  eq1  Para las celdas no prioritarias, CLRcont 2 se obtiene directamente de la Ecuación (3-6), puesto que a estas celdas afecta también la carga de las celdas prioritarias. La carga equivalente ρeq se expresa en la Ecuación (2-6), con el parámetro F válido para carga media y alta expresado en la Ecuación (2-2), y B2 es la capacidad total de la cola. B CLRcont PD ≅ (1 − ρ) 2  2  ρ  B  eq  (3-8) 1 − ρ  ρ  2 PD  eq  Ahora tendremos en cuenta que para obtener la aproximación del CLR en la cola discreta M/D/s/s+B, hay que añadir a esta aproximación del CLR para cola continua M/D/s/s+B otra cantidad debida a las pérdidas adicionales que produce la acumulación extraordinaria de celdas durante el intervalo de servicio, que denominamos CLRdiscr. La aproximación que proponemos para el cálculo del CLRdiscr se halla extensamente desarrollada en el Anexo II. Su expresión corresponde concretamente a la Ecuación (II-12): ∞ k CLRdiscr (ρ, s, B,QD )≅ e−λ ⋅∑ λ L + λ +1 ≅ e−λ ⋅ λL ⋅ k =L k! ↑ (L +1) ! (3-9) λs=6 1,3 1,E-03 1,1 1,E-04 0,9 s≥4 1,E-05 0,7 1,E-06 0,5 1,E-07 8 12 16 20 24 28 32 36 40 1,E-08 0,5 SIM 0,5 APR s2 SIM s2 APR s3 SIM s3 APR 0,6 SIM 0,6 APR s4 SIM s4 APR s5 SIM s5 APR 0,7 SIM 0,7 APR s6 SIM s6 APR s7 SIM s7 APR 0,8 SIM 0,8 APR s8 SIM s8 APR 0,9 SIM 0,9 APR Figura 6-57. Ejemplo de diseño de un IMUX. 6-41 Capítulo 7. Conclusiones más relevantes. Líneas futuras de investigación 7.1. Introducción En este capítulo se recogen las conclusiones más importantes a las que se ha llegado en el resto de capítulos que conforman esta tesis. Asimismo se comentan algunas líneas futuras de actuación como continuación del trabajo aquí realizado. 7.2. Conclusiones En esta tesis se ha obtenido una herramienta constituida por unas expresiones cerradas y sencillas que permiten ayudar a dimensionar los dispositivos de conmutación y multiplexación inversa que conforman una red realizada con tecnología ATM e IMA respectivamente. Los parámetros de diseño son el tamaño de la memoria (capacidad de almacenamiento) y el número de servidores o canales de salida que en función de la carga aplicada proporcionen unos valores contratados de calidad de servicio. Concretamente, los parámetros de calidad de servicio a los que nos hemos referido en este trabajo son la probabilidad de pérdida de celdas y el tiempo medio de espera en la cola. Los dispositivos analizados han sido en primer lugar un nodo de conmutación ATM genérico situado en un nivel alto de la jerarquía de red asumiendo un proceso de llegadas de las celdas de 7-1 Capítulo 7 Poisson, con colas multiservidor a su salida permitiendo múltiples enlaces y contemplando que las celdas pertenezcan a alguna de las cinco posibles clases de servicio de ATM dado que esta tecnología es una alternativa económicamente viable para proveer eficientemente anchos de banda utilizando la infraestructura disponible. Se ha presentado un modelo analítico para el cálculo del número medio de celdas en la cola (supuesta de capacidad infinita) y la probabilidad de pérdida de celdas, en un sistema de colas M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto y un esquema de cinco niveles diferentes de prioridad. Los resultados de la aproximación propuesta han demostrado ser suficientemente válidos para estimar la capacidad media de la cola y las pérdidas de un nodo de conmutación ATM con colas a su salida, en la fase de dimensionamiento de dicho dispositivo. El segundo dispositivo analizado es el IMUX o Multiplexor Inverso para ATM. Se ha elegido este tipo de nodo por ser real, por su mayor sencillez de operación y por tanto, por parecernos de una mayor tratabilidad analítica. Por todo ello, se ha expuesto en qué consiste un multiplexor inverso ATM, cuál es su funcionamiento básico y las principales aplicaciones de red para las que está ideado. Después de analizar todos los efectos que se producen en el dispositivo debido a la inserción de las celdas de control y de relleno que realiza el IMUX, se ha propuesto un método sencillo para dimensionar los parámetros más relevantes de dichos dispositivos (número de canales y tamaño de la cola) en función de la tasa de pérdida de celda y del tiempo medio de espera en la cola. Para realizar una primera estimación sobre el comportamiento del sistema se ha considerado también tráfico de entrada de Poisson. Ésta es una hipótesis razonable cuando los dispositivos IMUX se hallan en niveles altos de la jerarquía de la red, donde el tráfico agregado presenta un alto nivel de mezcla con un coeficiente de variación bajo no mucho mayor que la unidad, como sucede cuando el proceso no es muy disperso. De esta forma se extraerán conclusiones para dimensionar y planificar de forma fácil los recursos de un nodo multiplexor inverso para ATM. El análisis se ha limitado a colas markovianas con tráfico de llegada de Poisson. Ha sido ampliamente probado que los modelos de Poisson no contemplan las propiedades del tráfico real observado en redes de alta velocidad, por lo que el análisis presentado corre el riesgo de no tener aplicabilidad con redes reales. El asumir tráfico de Poisson conduce a un modelo optimista del comportamiento de una red. Sin embargo, la característica de “proceso sin memoria” del tráfico de Poisson permite obtener conclusiones que de otro modo resultarían muy complejas o imposibles. Como los dispositivos que hemos estudiado se sitúan en un nivel jerárquico de multiplexación alto de la red, el tráfico le llega ya muy mezclado y seguramente procesado por equiespaciadores que suavicen su coeficiente de variación, lo que permite hacer razonable la hipótesis de considerar que las celdas llegan al nodo según un proceso de Poisson. De esta manera, ha sido posible lograr unas expresiones matemáticas aproximadas cerradas y sencillas que optimizan el proceso de diseño de los dispositivos analizados de la red, que 7-2 Conclusiones más relevantes. Líneas futuras de investigación proporcionan resultados que difieran de los reales en márgenes acotados en intervalos suficientemente pequeños como para ser soportados por la bondad del diseño resultante. 7.3. Líneas futuras de investigación. Entre las posibles líneas de continuación de este trabajo destacan las siguientes: • Incorporar también un esquema de cinco prioridades en el dispositivo IMUX (Multiplexor Inverso para ATM) procediendo de manera similar a como se ha realizado con el sistema de colas M/D/s/s+B con tiempo de servicio discreto y cinco niveles de prioridad. De este modo, se contempla la posibilidad de que al IMUX lleguen celdas procedentes de aplicaciones de distinta naturaleza soportadas en las cinco clases de servicio propuestas por el ATM Forum. • Analizar el comportamiento del dispositivo IMUX, frente a tráficos de llegadas más realistas, como tráfico a ráfagas (ON-OFF) y modelos sencillos de tráfico en redes residenciales y de entorno de negocios, que presentan ciertas características de autosimilitud, con funciones de distribución dispersas [DEN96]. El análisis debe hacerse en todo el rango de valores de interés de los parámetros que caracterizan al modelo de tráfico realista, estudiando bajo qué condiciones sería útil el modelo hallado en esta tesis para tráfico de Poisson. En este aspecto, ya hemos iniciado nuestra investigación. Hemos analizado el comportamiento del dispositivo IMUX frente a tráfico a ráfagas o tráfico ON- OFF y frente a tráfico para redes residenciales, concretamente el estudiado en [DEN96] para redes residenciales basadas en Ethernet, en que el tamaño del paquete sigue una distribución de Pareto y el tiempo entre llegadas de las tramas Ethernet sigue una distribución de Weibull. Disponemos de dos artículos en proceso de revisión, en congresos internacionales de prestigio [POS99a, POS99d] así como en dos revistas también de ámbito internacional, Telecommunications Systems [POS99b] y Computer Networks [POS99c], ambas en proceso de revisión también. • Analizar la capacidad de la tecnología IMA de ofrecer ancho de banda bajo demanda, sobre la base de incrementos o decrementos de la capacidad de un enlace sencillo T1/E1, añadiendo o eliminando circuitos físicos elementales al grupo de forma dinámica según necesite cada aplicación en el transcurso del tiempo. Actualmente, IMA no contempla en la especificación la opción de disponer de ancho de banda bajo demanda, aunque es uno de los objetivos del grupo de trabajo correspondiente del ATM Forum. Sin embargo, se tiene previsto soportarlo. Ya existen fabricantes que soportan esta facilidad, aunque con implementaciones propietarias de cada fabricante (Nortel Magellan, Ascend Communications, Cisco Systems, 3Com, …). Sería interesante estudiar qué efectos producen los regímenes transitorios en el cambio del número de enlaces sobre los parámetros de calidad de servicio ofrecidos. 7-3 ANEXO I Obtención de las probabilidades de estado en un sistema M/D/1/N I.1 Probabilidades de estado Se sabe que las probabilidades de estado para el sistema de colas M/D/1 tienen las siguientes expresiones, donde π 'n es la probabilidad de que en el sistema haya n celdas siendo los instantes de observación los instantes de salida (por tratarse de un proceso de llegadas de Poisson, las probabilidades de estado en los instantes de salida coinciden con las probabilidades de estado en cualquier otro instante arbitrario [GRO74, pág. 235]) y ρ es la carga por enlace. La expresión de π 'n es [GRO74, pág. 243]: π '0 = 1− ρ π '1 = (1− ρ)⋅ (e ρ −1) (I-1)  n ( j ⋅ ρ )n− j n−1 ( j ⋅ ρ )n− j−1 π ' = (1− ρ)⋅ ∑e j⋅ρ n ⋅ (−1)n− j  ⋅ ( + ∑e j⋅ρ ⋅ (−1)n− j ⋅  , n ≥ 2  j=1 n − j)! j=1 (n − j −1)! Denominamos como πj a las probabilidades de estado para el sistema M/D/1/N que tiene limitada su capacidad de almacenamiento. Dichas probabilidades son proporcionales a las probabilidades de estado para el sistema de colas M/D/1, como se observa en [GRO74, pág. 251] a partir de la inspección de la matriz de transición. Así, aplicando la condición de suma unitaria de todas las probabilidades de estado que existen en el sistema M/D/1/N, se obtiene la Ecuación (I-2). Los puntos de observación son los instantes de salida, por eso el índice del sumatorio llega hasta N-1 en lugar de hasta N. N −1 N −1 1 = ∑π j = C ⋅∑π ' j ⇒ C = 1 N −1 j=0 j=0 ∑π ' j j=0 (I-2) π j = C ⋅π ' j , 0 ≤ j ≤ N −1 I-1 ANEXO I: Obtención de las probabilidades de estado en un sistema M/D/1/N I.2 Obtención de NQ , WQ y CLR Estos valores πj, representan la probabilidad de que una celda que ingresa en el sistema, lo encuentre con j celdas. La ocupación media de la cola NQ puede calcularse con la Ecuación (I- 3). El tiempo medio de espera en la cola WQ puede calcularse aplicando la relación de Little en la Ecuación (I-4). N −1 NQ = ∑( j −1)⋅π j (I-3) j=1 N 1 N −1 W Q Q = = ⋅ ( j −1)⋅π λ λ ∑ j (I-4) j=1 Para el cálculo de la probabilidad de pérdida de celdas en la cola M/D/1/N, utilizaremos en este caso la aproximación propuesta en [GRO74, pág. 252]. Primero vamos a obtener la probabilidad p′j de que una celda que llega al sistema (ingrese en él o no) encuentre el sistema con j celdas. Al ser el proceso de legadas de Poisson, la distribución de ocupaciones del sistema justo antes de las llegadas { p′j } coincide con las probabilidades en los instantes de salidas {π j } dado que las llegadas ocurren de una en una y los servicios también. La única diferencia es que el espacio de estados es diferente: p' π = j j ⇒ p' j = (1− p'N )⋅π j , 0 ≤ j ≤ N -1 1− p' (I-5) N La tasa efectiva de llegada debe ser igual a la tasa efectiva de partida, de donde se deduce la siguiente ecuación, siendo la carga ρ = λ µ : λ ⋅ (1− p'N ) 1 p' = µ − ⋅ (1− p'0 ) ⇒ p'N = 1− 0 ρ (I-6) con ello, 1− p' p' 0 j = ⋅π j , 0 ≤ j ≤ N -1 ρ (I-7) y finalmente, [GRO74, pág. 252] π p 0 0′ = π 0 + ρ π (I-8) p′j = j , 0 ≤ j ≤ N-1 π 0 + ρ I-2 ANEXO I: Obtención de las probabilidades de estado en un sistema M/D/1/N por lo tanto, al ser el proceso de llegada de las celdas de Poisson y aplicando la propiedad PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages), la probabilidad de pérdida de celdas o CLR puede aproximarse con la probabilidad del estado congestionado: 1− p′ CLR ≅ p′ 0 N = 1− ρ (I-9) I-3 ANEXO II Tiempo de servicio discreto: Número medio de celdas que ingresan en la cola (Wdiscr ) y probabilidad de pérdida de celdas adicional (CLRdiscr) de un sistema de colas durante un intervalo de servicio II.1 Introducción En un sistema de colas con tiempo de servicio discreto, el tiempo se divide en intervalos de longitud fija o slots. Por ejemplo, en un sistema M/D/s/B+s, los servicios sólo ocurren al principio de cada slot (cuando como mucho las c primeras celdas de la cola empiezan a ser servidas) y las posibles salidas del sistema ocurren al final del slot temporal. Las celdas que llegan al sistema durante un slot temporal, ingresan en la cola, si es que hay algún espacio libre. Esto no se produce en una cola con tiempo de servicio continuo, en que las celdas son servidas en cuanto llegan al sistema (si es que hay algún servidor libre). Por lo tanto, en una cola con tiempo de servicio discreto se produce una acumulación de celdas en la cola de entrada del sistema durante el intervalo temporal de servicio, y por lo tanto un incremento en el tiempo medio de espera de las celdas, que denominamos Wdiscr . Esta acumulación de celdas, además produce la existencia de un CLR adicional con respecto al CLR de una cola con tiempo de servicio continuo. Por lo tanto, para obtener una aproximación al CLR en un sistema de colas con tiempo de servicio discreto, a la aproximación del CLR para cola continua, hay que añadir otra cantidad que denominamos CLRdiscr. II.2 Aproximación para obtener Wdiscr Sea πk la probabilidad de que lleguen k celdas al sistema (el proceso de llegadas es de Poisson) durante el intervalo de servicio, que sin pérdida de generalidad consideramos como la unidad 1 µ ≡ 1, siendo λ la tasa media de llegada de celdas al sistema: π = λk ⋅ e−λ k k! (II-1) Entonces el número medio de celdas que llegan al sistema durante todo un intervalo de servicio y que ingresan en cola, se puede aproximar así: II-1 ANEXO II: Tiempo de servicio discreto: Núm. med. de cel. que ingresan en cola y CLR de un sist. colas durante un int. de serv. L λi ⋅ e−λ N ≅ ∑ i ⋅ i=1 i! (II-2) aunque fijaremos como punto de observación el punto medio del intervalo de servicio, como suele hacerse en la literatura especializada [CHU70], y así la aproximación final es: 1 L λi ⋅ e−λ Ndiscr ≅ ⋅∑ i ⋅ 2 (II-3) i=1 i! donde L es el espacio libre que en media hay disponible en la cola para las celdas que llegan al sistema durante un intervalo de servicio, y que puede aproximarse por la capacidad total de la cola menos la ocupación media de la misma (si ésta no se puede computar fácilmente, proponemos utilizar una ocupación media de la cola de un sistema similar que disponga de una expresión cerrada sencilla). Es adecuado comprobar que para una cola que tuviera capacidad infinita, el número medio de celdas que llegara al sistema durante todo un intervalo de servicio debería ser igual a la tasa media de llegada de celdas al sistema por unidad temporal, tomada como el tiempo medio de servicio: ∞ ≅ ∑ ⋅ λi ⋅ e−λ ∞ i ∞ i+1 ∞ i N i = e−λ ⋅∑ λ = e−λ ⋅ λ = e−λ ⋅ λ ⋅ λ = i=1 i! i=1 (i −1)! ∑ ∑ i=0 i! i=0 i! (II-4) = e−λ ⋅ λ ⋅ eλ = λ Finalmente, el tiempo medio de espera que sufren las celdas que llegan al sistema durante un intervalo de servicio y que ingresan en cola, se obtiene aplicando la relación de Little a la Ecuación (II-3) llegando a la siguiente expresión: N L i −λ W discr discr = ≅ 1 ⋅ λ ⋅ e i ⋅ λ 2 ⋅ λ ∑ i! (II-5) i=1 A partir de un tamaño de la cola lo suficientemente grande, se pude utilizar N λ discr ≅ 2 como indican las Ecuaciones (II-3) y (II-4). En ese caso, el tiempo medio de espera de las celdas en la cola puede aproximarse por: Wdiscr → 1 ↑ 2 (II-6) L→∞ II.3 Aproximación para obtener CLRdiscr Sea de Poisson el proceso según el cual llegan las celdas al sistema. La probabilidad de que lleguen k celdas al sistema durante un intervalo temporal igual al tiempo de servicio 1 µ ≡ 1 para II-2 ANEXO II: Tiempo de servicio discreto: Núm. med. de cel. que ingresan en cola y CLR de un sist. colas durante un int. de serv. una tasa media de llegada de celdas al sistema igual a λ, se calcula con la Ecuación (II-1). Sea A el número medio de celdas admitidas en la cola durante un intervalo de servicio; es decir, A se puede entender como la tasa media de admisión de celdas en la cola durante un intervalo equivalente al tiempo de servicio. Entonces, L A ≅ ∑k ⋅π k (II-7) k=1 donde L es el espacio libre que en media hay disponible para las celdas que llegan al sistema durante un intervalo de servicio, y que puede aproximarse por la capacidad total de la cola B, menos la ocupación media de la misma computada al inicio del intervalo de servicio (si no se puede computar fácilmente, proponemos utilizar una ocupación media de la cola de un sistema similar que disponga de una expresión cerrada sencilla). Desarrollando las Ecuaciones (II-1) y (II-7) se obtiene: L λk ⋅ e−λ L k −1 L−1 k A ≅ ∑k ⋅ = λ ⋅ e−λ ⋅∑ λ = λ ⋅ e−λ ⋅∑ λ (II-8) k=1 k! k =1 (k −1)! k =0 k! Dado que: ∞ ∑ λk = eλ k=0 k! (II-9) La Ecuación (II-8) se puede expresar así:  ∞ k   ∞ k  A ≅ λ ⋅ e−λ ⋅ λ eλ − ∑  −λ  = λ ⋅ 1− e ⋅∑ λ  k!   k!  (II-10) k=L k=L A partir de aquí, se realiza la siguiente aproximación para el CLRdiscr : λ − A A CLRdiscr ≅ = 1− λ λ (II-11) Combinando las Ecuaciones (II-10) y (II-11) se llega a la siguiente ecuación: ∞ k CLRdiscr ≅ λ e−λ ⋅∑ k! (II-12) k=L Si deseamos disponer de una fórmula más sencilla de calcular, podemos seguir desarrollando la Ecuación (II-12): II-3 ANEXO II: Tiempo de servicio discreto: Núm. med. de cel. que ingresan en cola y CLR de un sist. colas durante un int. de serv. ∞ λk λL λL+1 λL+2 λL+3  CLR ≅ e−λ ⋅∑ = e−λ discr ⋅  + ( + + + ... = k =L k!  L! L +1)! (L + 2)! (L + 3)!   λL 2 3 −λ  λ λ λ  = e ⋅ ⋅ 1+ ( ) + L!  L +1 (L +1)⋅ (L + 2) + ( ) ( ) ( ) + ... ≅ L +1 ⋅ L + 2 ⋅ L + 3   ↑ (II-13) λ<B = 0 En el sistema de ecuaciones anterior podemos observar que la primera ecuación describe el caso en el que la cola está vacía (p0), pues no había más de c celdas en el sistema al principio del slot de servicio ( as ) y no ha llegado ninguna celda más durante el slot de servicio (π0). La segunda ecuación describe el caso en que tenemos una celda en la cola al final del slot de servicio (p1) porque, o bien no teníamos más de s celdas al principio del slot y sólo ha llegado una celda durante este slot ( as ⋅π 1 ), o bien teníamos s+1 celdas al principio del slot y no ha llegado ninguna celda durante este slot ( ps+1 ⋅π 0 ). El resto de ecuaciones se razonan de forma idéntica. Como la cola es finita de B posiciones, entonces pk >B = 0 . V.2 Obtención de N Q , WQ y CLR A partir de las probabilidades de estado pk podemos calcular los parámetros de interés del modelo. En primer lugar calculamos la tasa real o efectiva de llegadas, dado que el sistema tiene pérdidas: V-2 ANEXO V: Obtención exacta de las probabilidades de estado en un sistema M/D/s/s+B s−1 B λA = ∑ k ⋅ pk + s ⋅∑ pk (V-4) k=0 k=s donde λA es la tasa real de llegadas, menor que la tasa ofrecida al sistema, λ. La probabilidad de pérdida de celdas o CLR se calcula como: λ − λ λ CLR = A = 1− A λ λ (V-5) La utilización efectiva de un servidor se calcula a partir de la expresión anterior como: ρ = λ λ ⋅ (1− CLR) = A ≤ A s ⋅ µ s ⋅ µ s (V-6) El número medio de celdas en la cola se calcula como: B+s NQ = ∑ (k − s) ⋅ pk + λ para B > s (V-7) k=s 2 donde el primer término es el número medio de celdas en el sistema al principio del slot de servicio, mientras que el segundo término muestra el número medio aproximado de celdas que llegan durante el slot de servicio, que se puede aproximar por λ / 2 , ver Anexo 2, Ecuaciones (II- 3) y (II-4). El tiempo medio de espera en cola se puede calcular a partir de la Ecuación (V-7) aplicando la relación de Little, utilizando la tasa efectiva de entrada de celdas al sistema: N N W = Q Q = Q λA λ ⋅ (1− CLR) (V-8) Con el proceso anterior, se hallan los parámetros del sistema de forma exacta. Pero resolver el sistema de la expresión (V-3) requiere un coste computacional muy elevado especialmente para valores grandes de la cola, por lo que es útil usar fórmulas aproximadas. En el capítulo 3 se ha desarrollado un método analítico para su resolución aproximada, que se coteja con los resultados exactos que se obtienen como se muestra en este Anexo (para el caso sin prioridades), para así evaluar el nivel de bondad de las aproximaciones propuestas. Para la resolución del sistema de ecuaciones (V-3) y para automatizar los cálculos con resultados satisfactorios en cuanto a tiempo de ejecución, hemos elaborado un programa sobre matlab y también otro sobre maple en función de los valores para la carga (ρ), número de canales (s) y tamaño de la cola (B). V-3 Glosario de Acrónimos ABR Available Bit Rate ADSIM ATM Devices Simulator ATM Asynchronous Transfer Mode CAC Connection Admission Control CBR Constant Bit Rate CCITT Comité Consultatif International Télégraphique et Téléphonique CDV Cell Delay Variation CDVT Cell Delay Variation Tolerance CLP Cell Loss Priority CLR Cell Loss Ratio CTD Cell Transfer Delay DCB Delay Compensation Buffer FIFO First In First Out GCRA Generic Cell Rate Algorithm GFC Generic Flow Control HEC Header Error Control HOL Head Of Line ICP IMA Control Protocol IDCR IMA Data Cell Rate IMA Inverse Multiplexing for ATM IMUX Inverse Multiplexer IP Internet Protocol ITU-T International Telecommunications Union-Telecommunication MBS Maximum Burst Size MCR Minimum Cell Rate MIB Management Information Base GA-1 Glosario de Acrónimos NNI Network-Node Interface nrt-VBR Non-real-time Variable Bit Rate OAM Operation and Maintenance PCR Peak Cell Rate PTI Payload Type Identifier QoS Quality of Service RDSI-BA Red Digital de Servicios Integrados de Banda Ancha RESTART Repetitive Simulation Trials After Reaching Thresholds RM Resource Management rt-VBR Real-time Variable Bit Rate SCR Sustained Cell Rate SICP Stuff ICP SIMUX Simulador IMUX SNMP Simple Network Management Protocol TCP Transport Control Protocol TRL Timing Reference Link TRLCR Timing Reference Link Cell Rate UBR Unspecified Bit Rate UIT Unión Internacional de Telecomunicaciones UNI User-Network Interface VBR Variable Bit Rate VCI Virtual Connection Identifier VLSI Very Large Scale Integration VPI Virtual Path Identifier GA-2 Referencias Bibliográficas [AGU97] M. Aguilar, F. Barceló, J. García Haro, “Estimación de los parámetros de calidad para distintos tráficos en nodos MTA con enlaces múltiples”, Jornadas de Ingeniería Telemática, Jitel’97, pp. 233-240, 15-17 Septiembre 1997, Bilbao. [AGU98a] M. Aguilar, F. Barceló, P. Iserte, “Approximation to the CLR in ATM switches with multiserver output discrete queues and priority”, IFIP Workshop TC6, ATM’98, pp. 63/1-63/10, 20-22 Julio 1998, Ilkley, U.K.. [AGU98b] M. Aguilar, M. Postigo, J. García Haro, “Estudio sobre parámetros de calidad en Multiplexores Inversos ATM”, URSI’98, pp. 647-648, 16-18 Septiembre 1998, Pamplona. [AGU98c] M. Aguilar, M. Postigo, J. García Haro, “Multiplexores Inversos ATM: Operación, Aplicaciones y Aspectos de Planificación y Evaluación de Prestaciones”, VIII Jornadas de I+D en Telecomunicaciones, TELECOM I+D’98, pp. 249-258, 28-29 Octubre 1998, Barcelona. [AGU98d] M. Aguilar Igartua, J. García Haro, M. Postigo Boix, “Multiplexores Inversos ATM: Operación, Aplicaciones y Modelo de Prestaciones para la estimación del CLR”, Report Interno nº 01/33/98 en el Departamento de Matemática Aplicada y Telemática de la Universidad Politécnica de Cataluña, Noviembre 1998, Barcelona. [AGU99a] M. Aguilar-Igartua, J. García-Haro, M. Postigo-Boix, “Inverse Multiplexing for ATM. Operation, Aplications and performance Evaluation for the Cell Loss Ratio”, 2nd International Conference on ATM, ICATM’99, pp. 472-481, 21-23 June 1999, Colmar, France. [AGU99b] M. Aguilar Igartua, J. García Haro, M. Postigo Boix, “Multiplexores Inversos ATM: Funcionamiento, Configuraciones de Red y Modelo de Prestaciones para la Estimación de la Probabilidad de Pérdida”, II Jornadas de Ingeniería Telemática, JITEL’99, pp. 3-10, 15-17 Septiembre 1999, Madrid. [AGU99c] M. Aguilar Igartua, J. García Haro, M. Postigo Boix, “Modelo analítico para la evaluación de prestaciones de un Multiplexor Inverso ATM con tráfico RB-1 Referencias Bibliográficas Poissoniano”, Report Interno nº 08/33/99 en el Departamento de Matemática Aplicada y Telemática de la Universidad Politécnica de Cataluña, Noviembre 1999, Barcelona. [ATM96] The ATM Forum Technical Committee, “Traffic Management Specification Version 4.0”, AF-TM-0056.000, Traffic Management Working Group, April 1996. [ATM97] The ATM Forum Technical Committee, “Inverse Multiplexing for ATM (IMA) Specification Version 1.0”, AF-PHY-0086.000, Physical Layer Working Group, July 1997. [ATM99] The ATM Forum Technical Committee, “Inverse Multiplexing for ATM (IMA) Specification Version 1.1”, AF-PHY-0086.001, Physical Layer Working Group, April 1999. [BAR96] F. Barceló, V. Casares, J. Paradells, "The M/D/C Queue with Priority: Application to trunked Mobile Radio Systems" IEE Electronics Letters, Vol 32, No. 18, pp. 1644- 1645, August 1996. [BAR97a] F. Barceló, J. Paradells, M. Aguilar, “Mean Waiting Time in the M/H2/s Queue: Application to Mobile Communications Systems”, 15th IMACS World Congress, Berlin, 24-29 August 1997. [BAR97b] Francisco Barceló Arroyo, “Tráfico de telfonía móvil: caracterización e implicaciones del tiempo de ocupación del canal”, Tesis Doctoral, UPC, 1997. [BAR98] F. Barceló, M. Aguilar, “Approximation to the M/D/s queue with finite buffer: Application to the CLR in ATM nodes”, International Teletraffic Seminar (ITC), St.Petersburg, pp. 401-409, Junio 1998. [BRU93] H. Bruneel, B. G. Kim, “Discrete-Time Models for Communication Systems Including ATM”, Kluwer Academic Publishers, 1993. [CHO95] C.-H. Chou, E. Geraniotis, “Efficient Computation of End-to-End Performance Measures for Multi-Link ATM Networks with Multi-Media Traffic”, IEEE INFOCOM’95, April 1995. [CHO97] Kathleen Cholenka, “ATM Inverse Muxing: Budgeted Bandwidth”, Data Communications, September 1997. [CHU70] W. W. Chu, “Buffer Behaviour for Poisson Arrivals and Multiple Synchronous Constant Outputs”. IEEE Trans. On Computers., Vol. C-19, No 6, June 1970. RB-2 Referencias Bibliográficas [CON98] James W. Conard, Editor, “Handbook of Communications Systems Management”, Fourth Edition, Auerbach Publications, 1998. [COS76] G. P. Cosmetatos, “Some Approximate Equilibrium Results for the MultiServer Queue (M/G/r)”, Operational Research Quarterly, Vol 27 Nº 3, pp. 615-620, 1976. [DEN96] Deng et al., “Design and Evaluation of an Ethernet-Based residential Network”, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, Vol. 14, Nº 6, August 1996. [DES91] E. Desmet, B. Steyaert, H. Bruneel, “Tail Distributions of Queue Length and Delay in Discrete-Time Multiserver Queueing Models, Applicable in ATM Networks”, ITC’13 International Teletraffic Congress, pp. 1-6, 1991. [FRE94] J. A. Freebersyser, M. Devetsikiotis, J. K. Townsend, “Efficient Simulation of high- Speed networks Using importantce Sampling and Stochastic Gradient Techniques”, Proc. IEEE GLOBECOM’94, San Francisco, CA, Nov. 1994, pp 1095-99. [GAR95] Joan García-Haro, “Contribución a la Evaluación y Diseño de Conmutadores Rápidos de Paquetes Basados en el Modo de Transferencia Asíncrono (MTA)”, Tesis Doctoral, UPC, 1995. [GOR98] C. Görg, O. Fuβ, “Comparison and Optimization of RESTART Run Times Strategies)”, International Journal of Electronics and Communications, Vol. 52, Nº 3, Gustav Fischer Verlag Ed., p. 197-204, 1998. [GRO74] D. Gross and C. Harris “Fundamentals of Queueing Theory”, John Wiley and Sons, 1974. [GU95] Xuedao Gu, Kazem Sohraby, Dhadesugoor R. Vaman, “Control and Performance in Packet, Circuit and ATM Networks”, Kluwer Academic Publishers, 1995. [ITU92] BROADBAND ASPECTS OF ISDN, Recommendation I.121, CCITT & ITU, Geneva, 1992. [KIM93] T. Kimura, “Approximating the Queue-Length Distribution in the Finite Capacity M/G/s Queue”. Discussion Paper Series A, No. 18, Faculty of Economics, Hokkaido University, Japan, Junio 1993. [KIM94] T. Kimura, “Approximations for multi-server queues: system interpolation”. Queuing Systems 17, pp. 347-382, 1994. [KLE75] L. Kleinrock, “Queueing Systems”, Vol I, John Wiley & Sons, 1975. [KYA95] Othmar Kyas, “ATM Networks”, International Thomson Publishing, 1995. RB-3 Referencias Bibliográficas [LAN97] Robin D. Langdon, “ATM Inverse Muxing for Easier Acces”, Data Communications, June 1997. [NOR97] Passport. “Inverse Multiplexing for ATM”. User Guide. Nortel Magellan. Northern Telecom, November 1997. [PAL95] R. Pallàs, “Teoria bàsica d’Errors”, Dep. Eng. Electrònica, UPC, 1995. [PIT97] J. M. Pitts, J. A. Schormans, “Introduction to ATM Design and Performance”, John Wiley & Sons, February 1997. [POS98] Marcos Postigo Boix, “Multiplexores Inversos ATM. Simulación y Análisis de Prestaciones” Proyecto Final de Carrera. ETSETB. UPC. Director: Juan García Haro. 1998. [POS99a] M. Postigo-Boix, J. García-Haro, M. Aguilar-Igartua, “Inverse Multiplexing for ATM. Performance Evaluation under different Traffic Patterns”, submitted to the IEEE ICC’2000. (En proceso de revisión). [POS99b] M. Postigo-Boix, J. García-Haro, M. Aguilar-Igartua, “Inverse Multiplexing for ATM. Technical Operation, Applications and Performance Evaluation Study”, submitted to the Telecommunication Systems. (En proceso de revisión). [POS99c] M. Postigo-Boix, J. García-Haro, M. Aguilar-Igartua, “IMA. Technical Foundations, Application and Performance Analysis”, submitted to the Computer Networks. (En proceso de revisión). [POS99d] M. Postigo-Boix, J. García-Haro, M. Aguilar-Igartua, “Inverse Multiplexing for ATM. Technical Operation, Applications and Performance Evaluation Study”, submitted to the Fifth IEEE Symposium on Computers and Communications, ISCC'2000, Antibes-Juan les Pins, France, 4-6 July, 2000. (En proceso de revisión). [PRY95] Martin de Prycker, “Asynchronous Transfer Mode. Solution for Broadband ISDN”, Third Edition, Prentice Hall, 1995. [SKL98] A. Skliros, “Significance of Buffering Architecture & CAC for the QoS”, International Teletraffic Seminar (ITC), St.Petersburg, pp. 225-235, June 1998. [TIJ94] Stochastic Models, an algorithm Approach, Henk C. Tijms, John Wiley and Sons, 1994. RB-4 Referencias Bibliográficas [VIL91] M. Villén-Altamirano, J. Villén Altamirano, “RESTART: A Method for Accelerating Rare Event Simulations” Queueing, Performance and Control in ATM (ITC13), J.W. Cohen and C.D. Pack, Elsevier Science Publishers B.V., North-Holland, 1991. RB-5