Perturbación de los valores propios simples de matrices de polinomios dependientes diferenciablemente de parámetros

Abstract

Sea P(¸) = Pk i=0 ¸iAi(p) una familia de matrices polinomiales mónica dependi- ente diferenciablemente de parámetros reales. Las matrices polinomiales aparecen de fPorma natural asociadas a los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de la forma k i=0 Aix(i)(t) = f(t). De especial relevancia es el caso de los sistemas diferenciales lineales de segundo orden, ya que aparecen en muchas aplicaciones de ingeniería. En este trabajo se estudia el comportamiento de los valores propios de una familia de matrices polinomiales mónicas, P(¸), obteniendo fórmulas explícitas describiendo el comportamiento de los valores y vectores propios correspondientes, en función de los parámetros. El estudio de la variación de los valores propios de una matriz polinomial, depen- diente diferenciablemente de parámetros, es, por sus múltiples aplicaciones, de gran interés. La teoría de perturbaciones de valores y vectores propios de matrices cuadradas está bien establecida. En este trabajo se extienden, a las matrices polinomiales, algunos de estos resultados. El resultado obtenido es un punto clave para los estudios de estabilidad, ya que permite analizar las singularidades en la frontera de la estabilidad. Es bien sabido, que el estudio de la estabilidad, para muchos problemas mec¶anicos y sistemas de control, se reduce al análisis de valores propios de la matriz polinomial asociada a la ecuación diferencial.