L'activitat investigadora que es realitza en el grup de treball COMPTHE s'emmarca en el context de la Matemàtica Discreta, concretament en l'estudi de paràmetres que informen sobre la conectivitat i propietats estructurals de les xarxes. Les tècniques emprades pel grup provenen dels àmbits de la Combinatòria i la Teoria Discreta del Potencial. Els temes d'interès pel grup són:
1.- Grafs i digrafs amb petit defecte o excés. Xarxes denses i cages. Grafs extremats sense cicles curts. La construcció de grafs i dígrafs amb petit defecte (amb número de nodes pròxim a la fita de Moore) tant en el cas no dirigit com en el cas mixt, és un problema obert que aporta una intensa activitat investigadora. En aquest apartat ens proposem la construcció de grafs, tant no dirigits com mixts, de diàmetre 3 amb petit defecte utilitzant com a punt de partida grafs d'incidència de certes geometries finites. Un altre problema, que en cert sentit és dual del problema de Moore, consisteix en minimitzar el número de vèrtexs d'un graf que té fixats el grau de cada vèrtex i el girth (longitud del cicle més curt). Un altre cop, construccions explícites de xarxes amb petit excés són escasses i les propietats d'aquests grafs anomenats cages són relativament desconegudes.
Els problemes extremats en teoria de grafs i combinatòria consisteixen, en general, en estudiar configuracions
discretes que optimitzen un o més paràmetres. Tant la construcció de xarxes denses com de cages són
problemes que s'emmarquen dins dels problemes extremats. El nostre equip ha estat capaç de fer contribucions a aquest problema extrema en el qual la propietat especificada és prohibir en el graf la presència de cicles curts. L'origen d'aquest problema es pot situar el 1927 quan Mantel es va preguntar quin era el nombre màxim d'arestes en un graf amb n nodes sense triangles. Durant els 60 Erdös va estendre el problema a prohibir triangles i quadrats. Aquest darrer problema actualment roman obert i són molts els grups d'investigadors interessats a resoldre'l, a l'hora que es van fent aportacions de tipus computacional que milloren
les fites existents, tant les superiors com les inferiors. A més de tècniques combinatòries, en aquest bloc ens proposem desenvolupar tècniques algebraiques i d'anàlisi espectral per a matrius d'adjacència, incidència i laplaciana.
2.- Mesures de connectividad, connectividad restringida i vulnerabilitat de xarxes. El concepte de connectivitat és massa genèric i moltes vegades no dóna informació rellevant sobre el graf o dígraf. Per això, autors reconeguts en l'àrea han proposat altres mesures de connectivitat més precises. En general, les noves nocions de conectivitat intenten mesurar propietats de les components connexes que s'obtenen en eliminar un cert nombre de nodes o d'arestes. El problema consisteix en desenvolupar criteris per a determinar aquests paràmetres estructurals en relació al diàmetre, el girth, o l'ordre, analitzar quin és el seu comportament quan es fan operacions entre grafs (productes, graf línia, etc.) i estudiar els seus valors en famílies concretes de grafs. Actualment el nostre equip està molt actiu en l'àrea de la connectivitat restringida, que en grafs va ser introduït per Esfahanian i Hakimi el 1988, i en dígrafs, per Volkmann el 2007. Recentment, el 2010, Hamidoune va provar, per al cas dirigit, que excloent l'entorn d'un vèrtex, el número mínim de vèrtexs que s'han d'eliminar per a desconnectar un dígraf arc-transitiu és més gran que el grau. El mateix resultat ha estat provat recentment per Brouwer i Haemers per a dígrafs fortament regulars.
En l'estudi de la tolerància a fallades en una xarxa, és també molt important el control de l'increment del diàmetre. Aquesta mesura es coneix amb el nom de vulnerabilitat del diàmetre i ha estat molt estudiada i se'n coneixen ja moltes propietats tant per a famílies particulars de grafs, como per grafs amb diàmetre no molt gran, com a molt 4. Aquests resultats tenen una aplicació immediata al càlcul de la vulnerabilitat de dígrafs relacionats amb els de Kautz i De Bruijn, dues famílies de grafs utilitzades abastament com a models de xarxes d'interconnexió. Un altre problema de gran interès consisteix en caracteritzar famílies de grafs el diàmetre de les quals no augmenta en eliminar un node. Ens proposem estendre els resultats coneguts, a l'estudi de la vulnerabilitat de certs grafs producte proposats recentment.
Al mateix temps, la resistència efectiva és un concepte de gran utilitat en l'estudi de la connectivitat de xarxes perquè hi defineix una distància que a diferència de la usual, la distància geodèsica, té en compte tots els camins que existeixen entre qualsevol parell de vèrtexs. De fet, la suma de les resistències efectives entre els diferents nodes de la xarxa és l'Índex de Kirchhoff que s'ha provat que és una millor alternativa respecte altres paràmetres a l'hora de discriminar entres diferents xarxes estructuralment semblants. Els membres del grup han desenvolupat tècniques analítiques per a abordar l'estudi de problemes relacionats amb els conceptes esmentats. Aquestes tècniques provenen de la Teoria del Potencial i involucren mesures d'equilibri i nuclis resolvents. Per tant, ens proposen l'estudi de la resistència efectiva i l'Índex de Kirchhoff com una eina pel control dels paràmetres de connectivitat esmentats.
3.- Estudi de la variació de la resistència efectiva i de l'Índex de Kirchhoff d'una xarxa després d'una pertorbació o d'una composició amb una altra xarxa. La fórmula de Sherman-Morrison calcula la inversa d'una pertorbació de rang u d'una matriu invertible en termes de la matriu original. Petites modificacions d'aquesta fórmula permeten estendre el resultat al càlcul de la inversa de Moore-Penrose quan la matriu original és singular. Des de la seva formulació original, molts autors han treballat en aquest tema. Tanmateix la iteració de la fórmula de Sherman-Morrison porta a expressions molt complexes que a la practica són ineficients. Malgrat això, aquestes fórmules iterades s'han utilitzat par a obtenir un procediment recursiu d'avaluació de la resistència efectiva d'una pertorbació en una xarxa. Els membres del grup han desenvolupat una tècnica que permet considerar simultàniament qualsevol nombre de pertorbacions degudes a l'augment de la conductivitat entre parells de vèrtexs, que porta a expressions explícites, i per tant més eficients, de les resistències efectives i de l'índex de Kirchhoff per a grans famílies de xarxes. En abordar els problemes anteriors, apareixen de forma natural les matrius de Jacobi, el càlcul de llurs inverses o inverses generalitzades està relacionat amb la resolució d'equacions en diferències de segon ordre i per tant amb l'estudi de famílies de polinomis ortogonals. És el nostre objectiu l'estudi de fórmules per la resistència efectiva i l'Índex de Kirchhoff de les xarxes resultants en disminuir la conductivitat de les arestes o bé afegir o eliminar nodes. A més, en el context de la Química Orgànica és d'actualitat la determinació de l'Índex de Kirchhoff i la seva anàlisi
asimptòtica, per a grans cadenes moleculars modelades per cadenes lineals generalitzades o per composició de cadenes simples. Per tant, l'estudi d'expressions tancades per als paràmetres esmentats de diferents composicions de xarxes és un altre dels objectius del grup.
4.- Dominació en grafs i dígrafs. Un subconjunt de vèrtexs d'un graf s'anomena dominant quan la seva frontera coincideix amb el seu complementari en el graf. El mínim número de nodes que formen un conjunt dominant és el número de dominació del graf, i és un paràmetre que s'està convertint en fonamental en l'estudi de qualsevol graf. Els conjunts mínims dominants són conjunts amb interior buit. Per a grafs dirigits, no sempre existeix un conjunt dominant i quan existeix i és independent se'n diu nucli. Newmann i Moregenstern van proposar aquest problema el 1944, i des de la primera publicació sobre dominació en grafs, de Ore el 1962, aquest problema ha adquirit una considerable rellevància en Teoria de Grafs que es reflecteix en nombroses publicacions, informes i monografies sobre aquest tema. És conegut que el problema de determinar un mínim conjunt dominant es NP-complet. El nostre grup està contribuint al tema millorant algunes fites generals sobre el número de dominació, caracteritzant algunes famílies crítiques, o aportant algoritmes per trobar o rebutjar certs conjunts mínims dominants denominats codis identificadors. Les tècniques desenvolupades en el context de Teoria discreta de potencial pel nostre grup, i que involucren la capacitat de Wiener d'un conjunt, seran adequades per a caracteritzar els conjunts mínims dominants.
5.- Anàlisi de l'existència i unicitat de solucions de problemes sobrecondicionats relacionats amb el problema invers en xarxes discretes. L'estructura d'una xarxa està determinada per la funció de conductàncies definida sobre les arestes. Un dels problemes més rellevants en l'anàlisi de xarxes, és el conegut com a problema invers de la conductància: donada una xarxa amb frontera, el problema invers consisteix en determinar la conductància de cada branca a partir de mesures a la frontera. Una de les eines emprades es l'aplicació Dirichlet-to-Neuman la versió matricial de la qual està íntimament relacionada amb el complement de Schur de la submatriu corresponent als vèrtexs del conjunt considerat en l'estudi del problema de Dirichlet. Les tècniques analítiques emprades en aquest tipus de problemes corresponen a principis del mínim, mètodes variacionals i nuclis resolvents que, en aquest context, freqüentment porten a plantejar problemes sobrecondicionats. Tenint en compte l'especialització del grup en la resolució de problemes de contorn, proposem una anàlisi detallada dels problemes sobrecondicionats que permetin un avanç important en la resolució del problema invers. El grup ja té un primer resultat, acceptat per ser publicat, que representa un progrés en la solució del problema discret de Serrin.
Els objectius concrets són:
1. Aplicació de tècniques procedents de Geometries finites en la construcció de grafs mixtes de Moore de diàmetre 3, cages, o grafs extremals amb ordre i girth prefixats.
2. Establir teoremes de monotonia en cages amb parells de girth prefixats o en cages amb seqüència de graus prefixada.
3. Avançar en l'estudi de la connectivitat restringida en famílies particulars de grafs i dígrafs de rellevància en el disseny de xarxes d'interconnexió.
4. Obtenir fórmules explícites per a la resistència efectiva i l'Índex de Kirchhoff en eliminar arestes, o en
afegir o eliminar vèrtexs d'una xarxa prèviament coneguda.
5. Determinar una fórmula explícita per a la resistència efectiva i l'Índex de Kirchhoff de cadenes linials multiperiòdiques.
6. Determinar una fórmula explícita per a la resistència efectiva i l'Índex de Kirchhoff de xarxes producte i d'altres xarxes compostes.
7. Definir i estudiar els conceptes de resistència efectiva i Índex de Kirchhoff per a operadors el·líptics sobre xarxes finites, incloent en particular el Laplacià sense signe. Obtenir condicions suficients per a que la resistència efectiva sigui una mètrica.
8. Anàlisi detallada de les equacions en diferències de segon ordre des del punt de vista de la Teoria Discreta del Potencial. Estudi de les transformacions de Doob i obtenció dels nuclis resolvents associats a problemes de contorn.
9. Estudi de la vulnerabilitat de la xarxa en termes de la resistència efectiva.
10. Establir criteris estructurals per calcular o acotar l'ordre dels conjunts mínims k-dominants tant en grafs com en hipergrafs. Estudi de la capacitat de Wiener de conjunts mínims dominants.
11. Utilitzar el coneixement obtingut per contribuir a la resolució de les següents conjectures:
a. Establir que les cages tenen connectivitat màxima.
b. Avançar en la conjectura d'Erdös-Sos que estableix que un graf amb prou arestes conté qualsevol arbre d'una grandària donada.
c. La conjectura de Vizing que afirma que el nombre de dominació del producte Cartesià és almenys el producte dels nombres de dominació dels factors.
12. Avançar en la resolució del problema de Serrin en xarxes: caracterització de les xarxes la mesura d'equilibri de les quals té derivada normal constant.
13. Construcció d'una anàlisi variacional per a problemes sobredeterminats: determinació del problema adjunt i dels nuclis resolvents.
14. Caracterització de matrius totalment no negatives com a matrius de resposta d'una xarxa planar.
15. Disseny d'algoritmes de recuperació de la conductància en xarxes estructurades.

http://futur.upc.edu/COMPTHE

La actividad investigadora que se realiza en el grupo de trabajo COMPTHE enmarca en el contexto de la Matemática Discreta, concretamente en el estudio de parámetros que informan sobre la conectividad y propiedades estructurales de las redes. Las técnicas empleadas por el grupo provienen de los ámbitos de la Combinatoria y la Teoría Discreta del Potencial. Los temas de interés para el grupo son:
1. - Grafos y dígrafos con pequeño defecto o exceso. Redes densas y "Cages". Grafos extremados sin ciclos cortos. La construcción de grafos y dígrafos con pequeño defecto (con número de nodos próximo a la meta de Moore) tanto en el caso no dirigido como en el caso mixto, es un problema abierto que aporta una intensa actividad investigadora. En este apartado nos proponemos la construcción de grafos, tanto no dirigidos como mixtos, de diámetro 3 con pequeño defecto utilizando como punto de partida grafos de incidencia de ciertas geometrías finitas. Otro problema, que en cierto
sentido es dual del problema de Moore, consiste en minimizar el número de vértices de un grafo que tiene fijados el grado de cada vértice y el "girth" (longitud del ciclo más corto). Otra vez, construcciones explícitas de redes con pequeño exceso son escasas y las propiedades de estos grafos llamados "Cages" son relativamente desconocidas.
Los problemas extremados en teoría de grafos y combinatoria consisten, en general, al estudiar configuraciones
discretas que optimizan uno o más parámetros. Tanto la construcción de redes densas como de "Cages" son
problemas que se enmarcan dentro de los problemas extremados. Nuestro equipo ha sido capaz de hacer contribuciones a este problema extrema en el que la propiedad especificada es prohibir en el grafo la presencia de ciclos cortos. El origen de este problema se puede situar en 1927 cuando Mantel se preguntó cuál era el número máximo de aristas en un grafo con n nodos sin triángulos. Durante los 60 Erdös extendió el problema
prohibir triángulos y cuadrados. Este último problema actualmente permanece abierto y son muchos los grupos
de investigadores interesados ¿¿en resolverlo, al tiempo que se van haciendo aportaciones de tipo computacional que mejoran
las metas existentes, tanto las superiores como las inferiores. Además de técnicas combinatorias, en este bloque nos
proponemos desarrollar técnicas algebraicas y de análisis espectral para matrices de adyacencia, incidencia y laplaciana.
2. - Medidas de conectividad, conectividad restringida y vulnerabilidad de redes. El concepto de
conectividad es demasiado genérico y muchas veces no da información relevante sobre el grafo o dígrafo. Por ello,
autores reconocidos en el área han propuesto otras medidas de conectividad más precisas. En general, las nuevas
nociones de conectividad intentan medir propiedades de las componentes conexas que se obtienen al eliminar un
cierto número de nodos o de aristas. El problema consiste en desarrollar criterios para determinar estos
parámetros estructurales en relación al diámetro, el "girth", o el orden, analizar cuál es su comportamiento cuando
se realizan operaciones entre grafos (productos, grafo línea, etc.) y estudiar sus valores en familias concretas de
grafos. Actualmente nuestro equipo está muy activo en el área de la conectividad restringida, que en grafos fue
introducido por Esfahanian y Hakimi en 1988, y en dígrafos, por Volkmann en 2007. Recientemente, en 2010, Hamidoune
probó, para el caso dirigido, que excluyendo el entorno de un vértice, el número mínimo de vértices que se deben eliminar
para desconectar un dígrafo arco-transitivo es mayor que el grado. El mismo resultado ha sido probado recientemente por Brouwer y Haemers para dígrafos fuertemente regulares.
En el estudio de la tolerancia a fallos en una red, es también muy importante el control del incremento del diámetro. Esta medida se conoce con el nombre de vulnerabilidad del diámetro y ha sido muy estudiada y se conocen ya muchas propiedades tanto para familias particulares de grafos, como por grafos con diámetro no muy grande, como mucho 4. Estos resultados tienen una aplicación inmediata al cálculo de la vulnerabilidad de dígrafos
relacionados con los de Kautz y De Bruijn, dos familias de grafos utilizadas abastecimiento como modelos de redes de interconexión. Otro problema de gran interés consiste en caracterizar familias de grafos el diámetro de las cuales no aumenta al eliminar un nodo. Nos proponemos extender los resultados conocidos, el estudio de la vulnerabilidad de ciertos grafos producto propuestos recientemente.
Al mismo tiempo, la resistencia efectiva es un concepto de gran utilidad en el estudio de la conectividad de redes para que define una distancia que a diferencia de la usual, la distancia geodésica, tiene en cuenta todos los caminos que existen entre cualquier par de vértices. De hecho, la suma de las resistencias efectivas entre los distintos nodos de la red es el Índice de Kirchhoff que se ha probado que es una mejor alternativa respecto a otros parámetros a la hora de discriminar entras diferentes redes estructuralmente similares. Los miembros del grupo han desarrollado técnicas analíticas para abordar el estudio de problemas relacionados con los conceptos mencionados. Estas técnicas provienen de la Teoría del Potencial e involucran medidas de equilibrio y núcleos resolvents. Por tanto, nos proponen el estudio de la resistencia efectiva y el Índice de Kirchhoff como una herramienta para el control de los parámetros de conectividad mencionados.
3. - Estudio de la variación de la resistencia efectiva y del Índice de Kirchhoff de una red después de una perturbación o de una composición con otra red. La fórmula de Sherman-Morrison calcula la inversa de una perturbación de rango uno de una matriz invertible en términos de la matriz original. Pequeñas modificaciones de esta fórmula permiten extender el resultado el cálculo de la inversa de Moore-Penrose cuando la matriz
original es singular. Desde su formulación original, muchos autores han trabajado en este tema. Sin embargo la iteración de la fórmula de Sherman-Morrison lleva a expresiones muy complejas que en la práctica son ineficientes. Sin embargo, estas fórmulas iteradas han utilizado par a obtener un procedimiento recursivo de evaluación de la resistencia efectiva de una perturbación en una red. Los miembros del grupo han desarrollado una técnica que permite considerar simultáneamente cualquier número de perturbaciones debidas al aumento de la conductividad entre pares de vértices, que lleva a expresiones explícitas, y por tanto más eficientes, de las
resistencias efectivas y del índice de Kirchhoff para grandes familias de redes. Al abordar los problemas anteriores, aparecen de forma natural las matrices de Jacobi, el cálculo de sus inversas o inversas generalizadas está relacionado con la resolución de ecuaciones en diferencias de segundo orden y por tanto con el estudio de familias de polinomios ortogonales. Es nuestro objetivo el estudio de fórmulas para la resistencia efectiva y el Índice de Kirchhoff de las redes resultantes en disminuir la conductividad de las aristas o bien añadir o eliminar nodos. Además, en el contexto de la Química Orgánica es de actualidad la determinación del Índice de Kirchhoff y su análisis
asintótica, para grandes cadenas moleculares modeladas por cadenas lineales generalizadas o por composición de cadenas simples. Por tanto, el estudio de expresiones cerradas para los parámetros mencionados de diferentes composiciones de redes es otro de los objetivos del grupo.
4. - Dominación en grafos y dígrafos. Un subconjunto de vértices de un grafo se llama dominante cuando su frontera coincide con su complementario en el grafo. El mínimo número de nodos que forman un conjunto dominante es el número de dominación del grafo, y es un parámetro que se está convirtiendo en fundamental en el
estudio de cualquier grafo. Los conjuntos mínimos dominantes son conjuntos con interior hueco. Para grafos dirigidos, no siempre existe un conjunto dominante y cuando existe y es independiente se llama núcleo. Newmann y Moregenstern propusieron este problema en 1944, y desde la primera publicación sobre dominación en grafos, de Ore en 1962, este problema ha adquirido una considerable relevancia en Teoría de Grafos que se refleja en numerosas publicaciones, informes y monografías sobre este tema . Es conocido que el problema de determinar un mínimo
conjunto dominante se NP-completo. Nuestro grupo está contribuyendo al tema mejorando algunos hitos generales sobre el número de dominación, caracterizando algunas familias críticas, o aportando algoritmos para encontrar o rechazar ciertos conjuntos mínimos dominantes denominados códigos identificadores. Las técnicas desarrolladas en el contexto de Teoría discreta de potencial por nuestro grupo, y que involucran la capacidad de Wiener de un conjunto, serán adecuadas para caracterizar los conjuntos mínimos dominantes.
5. - Análisis de la existencia y unicidad de soluciones de problemas sobrecondicionats relacionados con el problema inverso en redes discretas. La estructura de una red está determinada por la función de conductancias definida sobre las aristas. Uno de los problemas más relevantes en el análisis de redes, es el conocido como problema inverso de la conductancia: dada una red con frontera, el problema inverso consiste en determinar la conductancia de cada rama a partir de medidas en la frontera. Una de las herramientas utilizadas es la aplicación Dirichlet-to-Neuman la versión matricial de la cual está íntimamente relacionada con el
complemento de Schur de la submatriz correspondiente a los vértices del conjunto considerado en el estudio del problema de Dirichlet. Las técnicas analíticas utilizadas en este tipo de problemas corresponden a principios del mínimo, métodos variacionales y núcleos resolvents que, en este contexto, frecuentemente llevan a plantear problemas sobrecondicionats. Teniendo en cuenta la especialización del grupo en la resolución de problemas de
contorno, proponemos un análisis detallado de los problemas sobrecondicionats que permitan un avance importante en la resolución del problema inverso. El grupo ya tiene un primer resultado, aceptado para su publicación, que representa un progreso en la solución del problema discreto de Serrin.
Los objetivos concretos son:
1. Aplicación de técnicas procedentes de Geometrías finitas en la construcción de grafos mixtas de Moore de diámetro 3, Cage, o grafos extremales con orden y girth prefijados.
2. Establecer teoremas de monotonía en Cages con pares de girth prefijados o en Cages con secuencia de grados prefijada.
3. Avanzar en el estudio de la conectividad restringida en familias particulares de grafos y dígrafos de relevancia en el diseño de redes de interconexión.
4. Obtener fórmulas explícitas para la resistencia efectiva y el Índice de Kirchhoff en eliminar aristas, o en
añadir o eliminar vértices de una red previamente conocida.
5. Determinar una fórmula explícita para la resistencia efectiva y el Índice de Kirchhoff de cadenas lineales multiperiòdiques.
6. Determinar una fórmula explícita para la resistencia efectiva y el Índice de Kirchhoff de redes producto y de otras redes compuestas.
7. Definir y estudiar los conceptos de resistencia efectiva e Índice de Kirchhoff para operadores elípticos sobre redes finitas, incluyendo en particular el Laplaciano sin signo. Obtener condiciones suficientes para que la resistencia efectiva sea una métrica.
8. Análisis detallado de las ecuaciones en diferencias de segundo orden desde el punto de vista de la Teoría Discreta del Potencial. Estudio de las transformaciones de Doob y obtención de los núcleos resolvents asociados a problemas de contorno.
9. Estudio de la vulnerabilidad de la red en términos de la resistencia efectiva.
10. Establecer criterios estructurales para calcular o acotar el orden de los conjuntos mínimos k-dominantes tanto en grafos como en hipergrafía. Estudio de la capacidad de Wiener de conjuntos mínimos dominantes.
11. Utilizar el conocimiento obtenido para contribuir a la resolución de las siguientes conjeturas:
a. Establecer que las Cages tienen conectividad máxima.
b. Avanzar en la conjetura de Erdös-Sos que establece que un grafo con bastante aristas contiene cualquier árbol de un tamaño dado.
c. La conjetura de Vizing que afirma que el número de dominación del producto Cartesiano es menos el producto de los números de dominación de los factores.
12. Avanzar en la resolución del problema de Serrin en redes: caracterización de las redes la medida de equilibrio de las cuales tiene derivada normal constante.
13. Construcción de un análisis variacional para problemas sobredeterminados: determinación del problema adjunto y los núcleos resolvents.
14. Caracterización de matrices totalmente no negativas como matrices de respuesta de una red planar.
15. Diseño de algoritmos de recuperación de la conductancia en redes estructuradas.

http://futur.upc.edu/COMPTHE

The research activities carried out in the working group COMPTHE framed in the context of discrete mathematics, specifically in the study of parameters that report on connectivity and structural properties of networks. The techniques used by the group comes from the fields of Combinatorics and Discrete Potential Theory. The topics of interest to the group are:
One. - Graphs and digraphs with small defect or excess. Dense networks and "cage." Extreme graphs without short cycles. The construction of graphs and digraphs with small defect (with number of nodes near the landmark Moore) in the case not addressed in the case mixed is an open problem that provides an intense research activity. In this section we propose the construction of graphs, both directed and not mixed with small diameter 3 default using as a starting point graph of incidence of certain finite geometries. Another problem, which in some
sense of the problem is dual Moore is to minimize the number of vertices of a graph that has set the degree of each vertex and "girth" (length of the shortest cycle). Again, explicit constructions of small networks are too sparse and the properties of these graphs called "cages" are relatively unknown.
The extreme problems in graph theory and combinatorics consist, in general, studied configurations discrete optimize one or more parameters. Whether building dense networks as "cages" are problems that are part of the extreme problems. Our team has been able to make contributions to this extreme problem in which the specified property is prohibited in the graph the presence of short cycles. The origin of this problem can be placed Mantel 1927 when asked what was the maximum number of edges in a graph with n nodes without triangles. During the 60 Erdos extended problem prohibit triangles and squares. This last issue is open now and many groups researchers interested in solving it, when they get kind contributions that improve computational existing targets both the upper and the lower. Besides combinatorial techniques, in this blog we intend to develop algebraic techniques and spectral analysis for adjacency matrix, incidence and Laplacian.
Two. - Measures connectividad, connectividad restricted vulnerability of networks. The concept of Connectivity is often too generic and does not give relevant information about the graph or digraph. So known authors in the field have proposed other measures of connectivity more accurate. In general, the new notions attempt to measure connectivity properties of connected components obtained by removing a number of nodes or edges. The problem is to develop criteria to determine these structural parameters in relation to the diameter, the "girth" or order, to analyze their behavior when operations between graphs are (products, graph lines, etc.). Studied and their values ¿¿in specific families of graphs. Currently our team is very active in the area of ¿¿connectivity restricted to graphs was
Esfahanian and introduced by Hakimi in 1988 and digraphs by Volkmann in 2007. recently, in 2010, Hamidoune tested for the case directed that excluding around a vertex, the minimum number of vertices that must be removed to disconnect an arc-transitive digraph is greater than the degree. The same result has been tested recently by Brouwer and Haemers digraphs for strongly regular.
In the study of fault tolerance in a network, it is also very important to control the increase in diameter. This measure is known vulnerability diameter and has been studied and are known as many properties for both private families of graphs such as graphs with diameter not too big, at 4. These results are immediate application to calculate the vulnerability of digraphs related to Kautz and de Bruijn, two families of graphs widely used as models for interconnection networks. Another problem of interest is to characterize families of graphs whose diameter does not increase when deleting a node. We propose to extend the known results in the study of the vulnerability of some product graphs recently proposed.
At the same time, the effective resistance is a useful concept in the study of the connectivity of networks because it defines a distance unlike the usual geodesic distance, takes into account all paths that exist between any two vertices. In fact, the sum of the effective resistance between different nodes of the network is the Kirchhoff index which has proved to be a better alternative compared to other settings when you enter different networks to discriminate structurally similar. Group members have developed analytical techniques to address problems related to the study of the concepts mentioned. These techniques come from Potential Theory and involve measures of balance and core resolvents. Therefore, we propose to study the effective resistance and the Kirchhoff index as a tool for control parameters mentioned connectivity.
Three. - Study of the variation of the effective resistance and Kirchhoff index of a network after a disturbance or a composition with another network. The Sherman-Morrison formula to calculate the inverse of a rank one perturbation of an invertible matrix in terms of the original matrix. Small modifications of this formula to extend the result to calculate the Moore-Penrose inverse of the matrix when original is singular. Since its original formulation, many authors have worked on this issue. However iteration of the Sherman-Morrison formula leads to complex expressions that are inefficient in practice. However, these formulas have been used iterated par obtain a recursive procedure for evaluating the effective resistance of a disturbance on a network. Members of the group have developed a technique to simultaneously consider any number of disturbances due to the increase in conductivity between pairs of vertices, which leads to explicit expressions, and therefore more efficient, the effective resistance and Kirchhoff index for large families of networks. In addressing the above problems appear naturally Jacobi matrices, calculating their inverse or generalized inverse is related to solving differential equations of second order and therefore the study of families of orthogonal polynomials. Our aim is to study ways of resistance and the effective index Kirchhoff networks resulting in decreased conductivity of the edges or add or remove nodes. Moreover, in the context of organic chemistry is currently determining the Kirchhoff index and analysis asymptotically for large molecular chains molded composition or generalized linear chains of simple strings. Therefore, the study of closed expressions for the parameters mentioned different compositions networks is one of the goals of the group.
4. - Domination in graphs and digraphs. A subset of vertices of a graph is called dominant as its boundary coincides with its complement graph. The minimum number of nodes that form a dominant domination number of the graph, and is a parameter that is becoming critical in study of any graph. The sets are minimal dominant sets with empty interior. For directed graphs, there is not always a dominant set when there is independent and is called core. Newmann and Moregenstern proposed this problem in 1944, and since the first publication on domination in graphs, Ore in 1962, this problem has gained considerable importance in Graph Theory reflected in numerous publications, reports and monographs on this topic . It is known that the problem of determining a minimum dominating set is NP-complete. Our group is contributing to the issue by improving some general goals domination number, characterizing some critics families, or providing algorithms for finding minimum dominating sets or reject certain codes called identifiers. The techniques developed in the context of discrete potential theory by our group, and involving the Wiener capacity of a set will be adequate to characterize the minimal dominant set.
5. - Analysis of the existence and uniqueness of solutions for problems related sobrecondicionats inverse problem in discrete networks. The structure of a network is determined by the conductance function defined on the edges. One of the most important issues in network analysis is known as the inverse problem of conductance: given a network border, the inverse problem is to determine the conductance of each branch from measurements at the border. One of the tools used are applying Dirichlet-to-Neumann matrix version of which is closely related Schur complement of the submatrix corresponding to the vertices of the set considered in the study of the Dirichlet problem. Analytical techniques employed in such problems correspond to the minimum principles, methods and variational kernels resolvents, in this context, often leading to pose problems sobrecondicionats. Given the expertise of the group in solving problems contour, we propose a detailed analysis of the problems that allow sobrecondicionats breakthrough in solving the inverse problem. The group already has a first result, accepted for publication, representing progress in solving the problem of discrete range.
The specific objectives are:
1. Applying techniques from finite geometry in building mixed Moore graphs of diameter 3, cages, or extremal graphs with pre order and girth.
2. Establish theorems monotony in cages with pairs of cages with girth preset or predetermined sequence of degrees.
3. Progress in the study of connectivity restricted families of graphs and digraphs particular relevance in the design of interconnection networks.
4. Obtain explicit formulas for the effective resistance and the Kirchhoff index to eliminate edges or add or remove vertices of a network previously known.
5. Determine an explicit formula for the effective resistance and the Kirchhoff index of linear chains multiperiòdiques.
6. Determine an explicit formula for the effective resistance and the Kirchhoff index of product networks and other networks composed.
7. Define and study the concepts of effective resistance and Kirchhoff index for elliptic operators on finite networks, including in particular a Laplacian unsigned. Obtain sufficient conditions for the effective resistance is a metric.
8. Detailed analysis of second order difference equations from the point of view of Discrete Potential Theory. Study of the transformation of Doob and obtaining cores resolvents associated boundary problems.
9. Study of the vulnerability of the network in terms of effective resistance.
10. Establish criteria for calculating structural or limit order sets minimum k-dominating both graphs as hypergraph. Study of the Wiener capacity minimum dominating sets.
11. Use the knowledge gained to help resolve the following conjecture:
a. Set the cages have maximum connectivity.
b. Advancing the Erdos-Sos conjecture stating that a graph contains enough edges of any given size tree.
c. Vizing's conjecture which states that the number of Cartesian product rule is at least the product of the numbers of domination factor.
12. Progress in solving the problem of sawing networks: characterization of the networks as the balance of which has constant normal derivative.
13. Variational analysis Building for overdetermined problems: determining the problem and attached nuclei resolvents.
14. Characterization of totally nonnegative matrices as arrays of planar response of a network.
15. Algorithm design recovery conductance in structured networks.

http://futur.upc.edu/COMPTHE

The research activities carried out in the working group COMPTHE framed in the context of discrete mathematics, specifically in the study of parameters that report on connectivity and structural properties of networks. The techniques used by the group comes from the fields of Combinatorics and Discrete Potential Theory. The topics of interest to the group are:
One. - Graphs and digraphs with small defect or excess. Dense networks and "cage." Extreme graphs without short cycles. The construction of graphs and digraphs with small defect (with number of nodes near the landmark Moore) in the case not addressed in the case mixed is an open problem that provides an intense research activity. In this section we propose the construction of graphs, both directed and not mixed with small diameter 3 default using as a starting point graph of incidence of certain finite geometries. Another problem, which in some
sense of the problem is dual Moore is to minimize the number of vertices of a graph that has set the degree of each vertex and "girth" (length of the shortest cycle). Again, explicit constructions of small networks are too sparse and the properties of these graphs called "cages" are relatively unknown.
The extreme problems in graph theory and combinatorics consist, in general, studied configurations discrete optimize one or more parameters. Whether building dense networks as "cages" are problems that are part of the extreme problems. Our team has been able to make contributions to this extreme problem in which the specified property is prohibited in the graph the presence of short cycles. The origin of this problem can be placed Mantel 1927 when asked what was the maximum number of edges in a graph with n nodes without triangles. During the 60 Erdos extended problem prohibit triangles and squares. This last issue is open now and many groups researchers interested in solving it, when they get kind contributions that improve computational existing targets both the upper and the lower. Besides combinatorial techniques, in this blog we intend to develop algebraic techniques and spectral analysis for adjacency matrix, incidence and Laplacian.
Two. - Measures connectividad, connectividad restricted vulnerability of networks. The concept of Connectivity is often too generic and does not give relevant information about the graph or digraph. So known authors in the field have proposed other measures of connectivity more accurate. In general, the new notions attempt to measure connectivity properties of connected components obtained by removing a number of nodes or edges. The problem is to develop criteria to determine these structural parameters in relation to the diameter, the "girth" or order, to analyze their behavior when operations between graphs are (products, graph lines, etc.). Studied and their values ¿¿in specific families of graphs. Currently our team is very active in the area of ¿¿connectivity restricted to graphs was
Esfahanian and introduced by Hakimi in 1988 and digraphs by Volkmann in 2007. recently, in 2010, Hamidoune tested for the case directed that excluding around a vertex, the minimum number of vertices that must be removed to disconnect an arc-transitive digraph is greater than the degree. The same result has been tested recently by Brouwer and Haemers digraphs for strongly regular.
In the study of fault tolerance in a network, it is also very important to control the increase in diameter. This measure is known vulnerability diameter and has been studied and are known as many properties for both private families of graphs such as graphs with diameter not too big, at 4. These results are immediate application to calculate the vulnerability of digraphs related to Kautz and de Bruijn, two families of graphs widely used as models for interconnection networks. Another problem of interest is to characterize families of graphs whose diameter does not increase when deleting a node. We propose to extend the known results in the study of the vulnerability of some product graphs recently proposed.
At the same time, the effective resistance is a useful concept in the study of the connectivity of networks because it defines a distance unlike the usual geodesic distance, takes into account all paths that exist between any two vertices. In fact, the sum of the effective resistance between different nodes of the network is the Kirchhoff index which has proved to be a better alternative compared to other settings when you enter different networks to discriminate structurally similar. Group members have developed analytical techniques to address problems related to the study of the concepts mentioned. These techniques come from Potential Theory and involve measures of balance and core resolvents. Therefore, we propose to study the effective resistance and the Kirchhoff index as a tool for control parameters mentioned connectivity.
Three. - Study of the variation of the effective resistance and Kirchhoff index of a network after a disturbance or a composition with another network. The Sherman-Morrison formula to calculate the inverse of a rank one perturbation of an invertible matrix in terms of the original matrix. Small modifications of this formula to extend the result to calculate the Moore-Penrose inverse of the matrix when original is singular. Since its original formulation, many authors have worked on this issue. However iteration of the Sherman-Morrison formula leads to complex expressions that are inefficient in practice. However, these formulas have been used iterated par obtain a recursive procedure for evaluating the effective resistance of a disturbance on a network. Members of the group have developed a technique to simultaneously consider any number of disturbances due to the increase in conductivity between pairs of vertices, which leads to explicit expressions, and therefore more efficient, the effective resistance and Kirchhoff index for large families of networks. In addressing the above problems appear naturally Jacobi matrices, calculating their inverse or generalized inverse is related to solving differential equations of second order and therefore the study of families of orthogonal polynomials. Our aim is to study ways of resistance and the effective index Kirchhoff networks resulting in decreased conductivity of the edges or add or remove nodes. Moreover, in the context of organic chemistry is currently determining the Kirchhoff index and analysis asymptotically for large molecular chains molded composition or generalized linear chains of simple strings. Therefore, the study of closed expressions for the parameters mentioned different compositions networks is one of the goals of the group.
4. - Domination in graphs and digraphs. A subset of vertices of a graph is called dominant as its boundary coincides with its complement graph. The minimum number of nodes that form a dominant domination number of the graph, and is a parameter that is becoming critical in study of any graph. The sets are minimal dominant sets with empty interior. For directed graphs, there is not always a dominant set when there is independent and is called core. Newmann and Moregenstern proposed this problem in 1944, and since the first publication on domination in graphs, Ore in 1962, this problem has gained considerable importance in Graph Theory reflected in numerous publications, reports and monographs on this topic . It is known that the problem of determining a minimum dominating set is NP-complete. Our group is contributing to the issue by improving some general goals domination number, characterizing some critics families, or providing algorithms for finding minimum dominating sets or reject certain codes called identifiers. The techniques developed in the context of discrete potential theory by our group, and involving the Wiener capacity of a set will be adequate to characterize the minimal dominant set.
5. - Analysis of the existence and uniqueness of solutions for problems related sobrecondicionats inverse problem in discrete networks. The structure of a network is determined by the conductance function defined on the edges. One of the most important issues in network analysis is known as the inverse problem of conductance: given a network border, the inverse problem is to determine the conductance of each branch from measurements at the border. One of the tools used are applying Dirichlet-to-Neumann matrix version of which is closely related Schur complement of the submatrix corresponding to the vertices of the set considered in the study of the Dirichlet problem. Analytical techniques employed in such problems correspond to the minimum principles, methods and variational kernels resolvents, in this context, often leading to pose problems sobrecondicionats. Given the expertise of the group in solving problems contour, we propose a detailed analysis of the problems that allow sobrecondicionats breakthrough in solving the inverse problem. The group already has a first result, accepted for publication, representing progress in solving the problem of discrete range.
The specific objectives are:
1. Applying techniques from finite geometry in building mixed Moore graphs of diameter 3, cages, or extremal graphs with pre order and girth.
2. Establish theorems monotony in cages with pairs of cages with girth preset or predetermined sequence of degrees.
3. Progress in the study of connectivity restricted families of graphs and digraphs particular relevance in the design of interconnection networks.
4. Obtain explicit formulas for the effective resistance and the Kirchhoff index to eliminate edges or add or remove vertices of a network previously known.
5. Determine an explicit formula for the effective resistance and the Kirchhoff index of linear chains multiperiòdiques.
6. Determine an explicit formula for the effective resistance and the Kirchhoff index of product networks and other networks composed.
7. Define and study the concepts of effective resistance and Kirchhoff index for elliptic operators on finite networks, including in particular a Laplacian unsigned. Obtain sufficient conditions for the effective resistance is a metric.
8. Detailed analysis of second order difference equations from the point of view of Discrete Potential Theory. Study of the transformation of Doob and obtaining cores resolvents associated boundary problems.
9. Study of the vulnerability of the network in terms of effective resistance.
10. Establish criteria for calculating structural or limit order sets minimum k-dominating both graphs as hypergraph. Study of the Wiener capacity minimum dominating sets.
11. Use the knowledge gained to help resolve the following conjecture:
a. Set the cages have maximum connectivity.
b. Advancing the Erdos-Sos conjecture stating that a graph contains enough edges of any given size tree.
c. Vizing's conjecture which states that the number of Cartesian product rule is at least the product of the numbers of domination factor.
12. Progress in solving the problem of sawing networks: characterization of the networks as the balance of which has constant normal derivative.
13. Variational analysis Building for overdetermined problems: determining the problem and attached nuclei resolvents.
14. Characterization of totally nonnegative matrices as arrays of planar response of a network.
15. Algorithm design recovery conductance in structured networks.

http://futur.upc.edu/COMPTHE

Enviaments recents

  • Combinatorial recurrences and linear difference equations 

    Jiménez Jiménez, M. Jose; Encinas Bachiller, Andrés Marcos (2016-10-17)
    Article
    Accés restringit per política de l'editorial
    In this work we introduce the triangular arrays of depth greater than 1 given by linear recurrences, that generalize some well known recurrences that appear in enumerative combinatorics. In particular, we focussed on ...
  • Combinatorial recurrences and linear difference equations 

    Jiménez Jiménez, M. Jose; Encinas Bachiller, Andrés Marcos (2016)
    Text en actes de congrés
    Accés restringit per política de l'editorial
    In this work we introduce the triangular arrays of depth greater than 1 given by linear recurrences, that generalize some well-known recurrences that appear in enumerative combinatorics. In particular, we focussed on ...
  • Overdetermined partial boundary value problems on finite networks 

    Arauz Lombardía, Cristina; Carmona Mejías, Ángeles; Encinas Bachiller, Andrés Marcos (2015-03-01)
    Article
    Accés restringit per política de l'editorial
    In this study, we define a class of non-self-adjoint boundary value problems on finite networks associated with Schrodinger operators. The novel feature of this study is that no data are prescribed on part of the boundary, ...
  • Recovering the conductances on grids: A theoretical justification 

    Arauz Lombardía, Cristina; Carmona Mejías, Ángeles; Encinas Bachiller, Andrés Marcos; Mitjana Riera, Margarida (2016)
    Article
    Accés obert
    In this work, we present an overview of the work developed by the authors in the context of inverse problems on nite networks. This study performs an extension of the pioneer studies by E.B. Curtis and J.A. Morrow, ...
  • On the acyclic disconnection and the girth 

    Balbuena Martínez, Maria Camino Teófila; Olsen, Mika (2015-05-11)
    Article
    Accés restringit per política de l'editorial
    The acyclic disconnection, (omega) over right arrow (D), of a digraph D is the maximum number of connected components of the underlying graph of D - A(D*), where D* is an acyclic subdigraph of D. We prove that (omega) over ...
  • Small regular graphs of girth 7 

    Abreu, Marien; Araujo Pardo, Gabriela; Balbuena Martínez, Maria Camino Teófila; Labbate, D.; Salas Salvado, Jordi (2015-07-01)
    Article
    Accés obert
    In this paper, we construct new infinite families of regular graphs of girth 7 of smallest order known so far. Our constructions are based on combinatorial and geometric properties of (q + 1, 8)-cages, for q a prime power. ...
  • Dirichlet-to-Robin maps on finite networks 

    Arauz Lombardía, Cristina; Carmona Mejías, Ángeles; Encinas Bachiller, Andrés Marcos (2015-04-01)
    Article
    Accés obert
    Our aim is to characterize those matrices that are the response matrix of a semi positive definite Schrodinger operator on a circular planar network. Our findings generalize the known results and allow us to consider both ...
  • Kirchhoff index of periodic linear chains 

    Carmona Mejías, Ángeles; Encinas Bachiller, Andrés Marcos; Mitjana Riera, Margarida (2015-02)
    Article
    Accés obert
    A periodic linear chain consists of a weighted 2n -path where new edges have been added following a certain periodicity. In this paper, we obtain the effective resistance and the Kirchhoff index of a periodic linear chain ...
  • Perturbations of discrete elliptic operators 

    Carmona Mejías, Ángeles; Encinas Bachiller, Andrés Marcos; Mitjana Riera, Margarida (Elsevier, 2015)
    Article
    Accés obert
  • Green matrices associated with generalized linear polyominoes 

    Carmona Mejías, Ángeles; Encinas Bachiller, Andrés Marcos; Mitjana Riera, Margarida (Elsevier, 2015)
    Article
    Accés obert
    A polyomino is an edge-connected union of cells in the planar square lattice. Here we consider generalized linear polyominoes; that is, the polyominoes supported by an n × 2 lattice. In this paper, we obtain the ...

Mostra'n més