Cálculos numéricos de la Hopf zero

Abstract

Consideramos la siguiente familia de campos X en R3 :  dx dt = − xz − y( + c z) + p+1f( x, y, z, ) dy dt = − yz + x( + c z) + p+1g( x, y, z, ) dz dt = (−1 + b(x2 + y2) + z2) + p+1h( x, y, z, ) (1) donde f, g y h son funciones reales anal´ıticas, de orden mayor o igual que 3; , b y c son constantes y > 0 es un par´ametro peque˜no. Cuando = 0, X0 es la singularidad llamada Hopf-Zero. De hecho considerando ˜Xμ un desplegamiento universal anal´ıtico de esta singularidad, y realizando su forma normal hasta t´erminos de orden 2 obtenemos, despu´es de un escalado de las variables de orden = √μ, la familia (1) considerada (ver [BV84]) con p = −2. Cuando f = g = h = 0 observamos que el sistema tiene una ´orbita heterocl´ınica entre los puntos cr´ıticos (0, 0,±1) la cual est´a dada por: {(0, 0, z) : −1 < z < 1}. El objetivo de este trabajo es ver que esta ´orbita heterocl´ınica se rompe si (f, g, h) 6= 0 y calcular la distancia entre las variedades invariantes unidimensionales correspondientes. Para el caso en que p > −2 (ver [BV84]) esta distancia sobre el plano z = 0 esta dada por: ds,u = 2 ec /2| ˆm(i )| pe− | |/(2 )(1 + O( p+2| log( )|)), (2) donde ˆm es la transformada de Borel de la funci´on m(u) = u1+ic(f + ig)(0, 0, u, 0). Nuestro estudio trata de establecer el valor de la distancia para el caso p = −2. Para este caso hemos desarrollado algoritmos que utilizan c´alculos con multiprecisi´on debido a que, cuando el par´ametro es peque˜no, ambas variedades se aproximan exponencialmente. Nuestro objetivo fundamental es verificar la f´ormula (2) para p > 2 y obtener una f´ormula v´alida para p = −2.