Statics of Frameworks and Motions of Panel Structures: A projective Geometric Introduction

Abstract

Deux domaines traditionnellement &pares, la statique de charpentes faites debarres et de joints et la cinématique instantanée de structures à panneaux articuIés sont ici réunis dans une approche nouvelle et appropriée de la géométrie projective. Nous nous servons de I’algèbre extèrieure (ou algèbre de Cayley) pour représenter I’équilibre des charges et des contraintes statiques sur une charpente faite de barres et de joints, et pour représenter les mouvements instantanées d’une structure à panneaux articulés. Dans le cas particulier d’une charpente et d’une structure à panneaux, construites I’une sur le squelette des arêtes, I’autre sur la configuration des faces d’un polyèdre sphérique, nous montrons un isomorphisme algébrique naturel entre les contraintes statiques de la charpente et les mouvements instantanées de la structure a panneaux. Avec une condition projective simple sur la contrainte, I’isomorphisme s’étend aux charpentes et structures à panneaux basées sur des polyèdres quelconques orientés.

Two traditionally separate fields, the statics of bar and joint frameworks and the instantaneous kinematics of articulated panel structures, are here united in a novel and appropriate projective geometric setting. We employ exterior algebra (or Cayley algebra) to represent equilibrium loads and static stresses on a bar and joint framework, and to represent instantaneous motions of an articulated panel structure. In the special case of a framework and a panel structure, one built on the edge skeleton, the other on the face structure, of a spherical polyhedron, we exhibit a natural algebraic isomorphism between static stresses in the framework and instantaneous motions of the panel structure. Under a suitable path condition on the stresses, we extend this isomorphism to frameworks and panel structures based on arbitrary oriented polyhedra.