Gauss i els polígons

Abstract

Per copsar el llegat de Gauss, cal tenir en compte què va fer, naturalment, però també què va deixar als altres per fer. En aquest article expositiu, mostrem aquest fet en el cas de la constructibilitat amb regle i compàs dels polígons regulars a la circumferència i a la lemniscata. Gauss va provar (1796) que el polígon regular de n costats es pot construir amb regle i compàs si els factors primers senars de n són primers de Fermat diferents. També va conjecturar que aquesta condició era necessària, la qual cosa fou demostrada per Wantzel el 1836. Una nota “insinuant” a les seves Disquisitiones Mathematicae va propiciar que Abel trobés (1828) el mateix resultat per al cas dels polígons regulars de la lemniscata; en aquest cas, el recíproc fou provat per Rosen el 1981.