Sistemes de Lie i l'equació de Riccati matricial

Abstract

El propòsit d'aquest treball és, doncs, revisar el teorema de Lie i la seva demostració i il·lustrar alguns casos d'especial importància sobre els quals els resultats que es coneixen actualment tan sols poden ser trobats en els articles citats anteriorment, que sovint no gaudeixen de suficient claredat i nivell de detall per al lector no especialitzat. En aquest sentit gran part del treball ha consistit a consultar un bon nombre d'articles i seleccionar la informació més adient per tal de realitzar un treball tancat i tan autocontingut com ha estat possible. En conseqüència, una de les tasques amb més dficultat ha consistit a unficar el llenguatge i la notació en un estil més proper al que s'usa actualment en els textos matemàtics. Cal tenir en compte que bona part de la producció en el tema de sistemes de Lie i sistemes d'equacions amb principis de superposició prové de l'interès que han despertat aquestes qüestions en la física teòrica, on s'utilitza un llenguatge una mica diferent que en els llibres de geometria diferencial. En aquest treball hem intentat reescriure alguns resultats usant un llenguatge més proper al de la geometria. L'objectiu del treball és l'estudi de les equacions diferencials que admeten un principi de superposició, conegudes com a sistemes de Lie o sistemes de Lie-Scheffers. Es revisa la bibliografia apareguda en els últims anys sobre la matèria i s'aplica la teoria a una classe d'exemples particular, l'equació de Riccati matricial.