Simetries d'equacions diferencials. Aplicació als sistemes k-simplèctics

Abstract

En aquest treball exposarem la teoria general de les simetries puntuals d'equacions diferencials, també conegudes com a simetries de Lie. Aquestes són transformacions en l'espai de variables dependents i independents que conserven el conjunt de solucions d'una equació diferencial. Posteriorment aplicarem aquesta teoria a l'estudi de les simetries del formalisme k-simplèctic de la teoria de camps ([Rom]). Ens fixarem només en les simetries contínues, és a dir, simetries donades per un grup continu de transformacions, en contraposició a les simetries discretes ([Gae]). Dins de les simetries contínues s'anomenen puntuals aquelles que no són generalitzades o de Lie-Bäcklund, les quals sorgeixen en l'estudi de lleis de conservació ([Olv], cap. 5). Les simetries s'apliquen per trobar solucions d'una equació diferencial, reduir el seu ordre o integrar-les; per exemple, per equacions diferencials ordinàries vegeu la secció 2.5 de [Olv]. Actualment existeixen molts articles d'investigació on apareixen aquests mètodes aplicats a certes famílies d'equacions diferencials.