A study of QR decomposition and Kalman filter implementations

Abstract

[ANGLÈS] With the rapid development of new technologies during the last decades, the demand of complex algorithms to work in real-time applications has increased considerably. To achieve the real time expectations and to assure the stability and accuracy of the systems, the application of numerical methods and matrix decompositions have been studied as a trade-off between complexity, stability and accuracy. In the first part of this thesis, a survey of state-of-the-art QR Decomposition methods applied to matrix inversion is done. Stability and accuracy of these methods are analyzed analytically and the complexity is studied in terms of operations and level of parallelism. Besides, a new method called Modified Gaussian Elimination (MGE) is proposed. This method is shown to have better accuracy and less complexity than the previous methods while keeping good stability in real time applications. In the second part of this thesis, different techniques of extended Kalman Filter implementations are discussed. The EKF is known to be numerically unstable and various methods have been proposed in the literature to improve the performance of the filter. These methods include square-root and unscented versions of the filter that make use of numerical methods such as QR, LDL and Cholesky Decomposition. At the end of the analysis, the audience/reader will get some idea about best implementation of the filter given some specifications.

[CASTELLÀ] Con el rápido desarrollo de nuevas tecnologías en las últimas décadas, la demanda de algoritmos complejos que deben trabajar en aplicaciones en tiempo real se ha incrementado considerablemente. Para alcanzar las expectativas de funcionamiento en tiempo real y para asegurar la estabilidad y precisión de los sistemas, la aplicación de métodos numéricos y descomposiciones matriciales ha sido estudiada en terminos de complejidad, estabilidad y precisión. La primera parte de esta tesis consiste en un estudio de los métodos existentes para calcular la descomposición QR . La estabilidad y precisión de estos métodos es analizada analíticamente y la complejidad es estudiada en términos de número y tipo de operaciones y nivel de paralelismo. Además, un nuevo método denominado Modified Gaussian Elimination (MGE) es propuesto. Este método demuestra tener una mejor precisión y una menor complejidad que los métodos anteriores mientras mantiene buenas propiedades de estabilidad. En la segunda parte de esta tesis, diferentes técnicas de implementación de filtros de Kalman no lineales son analizadas. El filtro de Kalman es conocido por ser inestable numéricamente cuando se aplica a modelos no lineales y se han propuesto varios métodos en la literatura para mejorar su rendimiento. Estos métodos incluyen ”square root filters” y “unscented filters” que hacen uso de métodos numéricos tales como QR, LDL y descomposición de Cholesky. Al final del análisis, el público / lector podrá hacerse una idea sobre la mejor implementación del filtro dadas las especificaciones.

[CATALÀ] Amb el ràpid desenvolupament de noves tecnologies en les últimes dècades, la demanda d'algoritmes complexos que han de treballar en aplicacions en temps real s'ha incrementat considerablement. Per assolir les expectatives de funcionament en temps real i per assegurar l'estabilitat i precisió dels sistemes, l'aplicació de mètodes numèrics i descomposicions matricials ha estat estudiada en termes de complexitat, estabilitat i precisió. La primera part d'aquesta tesi consisteix en un estudi dels mètodes existents per calcular la descomposició QR. L'estabilitat i precisió d'aquests mètodes és analitzada analíticament i la complexitat és estudiada en termes de nombre i tipus d'operacions i nivell de paral·lelisme. A més, un nou mètode anomenat Modified Gaussian Elimination (MGE) és proposat. Aquest mètode demostra tenir una millor precisió i una menor complexitat que els mètodes anteriors mentre manté bones propietats d'estabilitat. A la segona part d'aquesta tesi, diferents tècniques d'implementació de filtres de Kalman no lineals són analitzades. El filtre de Kalman és conegut per ser inestable numèricament quan s'aplica a models no lineals i s'han proposat diversos mètodes en la literatura per a millorar el seu rendiment. Aquests mètodes inclouen "square root filters" i "unscented filters" que fan ús de mètodes numèrics com ara QR, LDL i descomposició de Cholesky. Al final de l'anàlisi, el públic / lector podrà fer-se una idea sobre la millor implementació del filtre donades les especificacions.