Notas del primer seminario de integrabilidad de la Universitat Politècnica de Catalunya
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Col·laboradorMorales Ruíz, Juan José; Gomez-Ullate Oteiza, David; Fedorov, Yuri; Ramírez Ros, Rafael; Pantazi, Chara
Tipus de documentWorking paper
Data publicació2008
EditorPrimitivo Belén Acosta Humánez
Condicions d'accésAccés obert
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Abstract
Estas notas corresponden a las exposiciones presentadas en el \emph{Primer Seminario de Integrabilidad}, dentro de lo que se denomina \emph{Aula de Sistemas Din\'amicos}. Durante este evento se realizaron seis conferencias, todas presentadas por miembros del grupo de Sistemas Din\'amicos de la UPC. El programa desarrollado fue el siguiente:\\
\begin{center}
AULA DE SISTEMAS DIN\'AMICOS
\end{center}
\begin{center}
\texttt{http://www.ma1.upc.es/recerca/seminaris/aulasd-cat.html}
\end{center}
\begin{center}
SEMINARIO DE INTEGRABILIDAD
\end{center}
\begin{center}
Martes 29 y Mi\'ercoles 30 de marzo de 2005\\
Facultad de Matem\'aticas y Estad\'{\i}stica, UPC\\
Aula: Seminario 1
\end{center}
\bigskip
\begin{center}
PROGRAMA Y RES\'UMENES
\end{center}
{\bf Martes 29 de marzo}
\begin{itemize}
\item
15:30. Juan J. Morales-Ruiz. \emph{El problema de la
integrabilidad en Sistemas Din\'amicos}
\medskip
{\bf Resumen.} En esta presentaci\'on se pretende dar una
idea de conjunto, pero sin entrar en detalles, sobre las diversas
nociones de integrabilidad, asociadas a nombres de matem\'aticos
tan ilustres como Liouville, Galois-Picard-Vessiot, Lie, Darboux,
Kowalevskaya, Painlev\'e, Poincar\'e, Kolchin, Lax, etc. Adem\'as
tambi\'en mencionaremos la revoluci\'on que supuso en los a\~nos
sesenta del siglo pasado el descubrimiento de Gardner, Green,
Kruskal y Miura sobre un nuevo m\'etodo para resolver en algunos
casos determinadas ecuaciones en derivadas parciales. \medskip
\item
16:00. David G\'omez-Ullate. \emph{Superintegrabilidad, pares de
Lax y modelos de $N-$cuerpos en el plano}
\medskip
{\bf Resumen.} Introduciremos algunas t\'ecnicas cl\'asicas para
construir modelos de N-cuerpos integrables, como los pares de Lax
o la din\'amica de los ceros de un polinomio. Revisaremos la
noci\'on de integrabilidad Liouville y superintegrabilidad, y
discutiremos un nuevo m\'etodo debido a F. Calogero para contruir
modelos de N-cuerpos en el plano con muchas \'orbitas
peri\'odicas. La exposici\'on se acompa\~nar\'a de animaciones del
movimiento de los cuerpos, y se plantear\'an algunos problemas
abiertos.
\medskip
\item
17:00. Pausa
\medskip
\item
17:30. Yuri Fedorov. \emph{An\'alisis de Kovalevskaya--Painlev\'e
y Sistemas Algebraicamente Integrables}
\medskip
{\bf Resumen.} Muchos sistemas integrables poseen una propiedad
remarcable: todas sus soluciones son funciones meromorfas del
tiempo como una variable compleja. Tal comportamiento, que se
refiere como propiedad de Kovalevskaya-Painleve (KP) y que se usa
frecuentemente como una ensayo de integrabilidad, no es accidental
y tiene unas ra\'{\i}ces geom\'etricas profundas. En esta charla
describiremos una clase de tales sistemas (conocidos como los
sistemas algebraicamente integrables) y subrayaremos sus
propiedades geom\'etricas principales que permiten predecir la
estructura de las soluciones complejas y adem\'as encontrarlas
expl\'{\i}citamente. Eso lo ilustraremos con algunos sistemas de
la mec\'anica cl\'asica. Tambi\'en mencionaremos unas
generalizaciones \'utiles de la noci\'on de integrabilidad
algebraica y de la propiedad KP.
\end{itemize}
\medskip
{\bf Mi\'ercoles 30 de marzo}
\begin{itemize}
\item 15:30. Rafael Ram\'{\i}rez-Ros. \emph{El m\'etodo de Poincar\'e}
\medskip
{\bf Resumen.} Dado un sistema Hamiltoniano aut\'onomo cercano a
completamente integrable Poincar\'e prob\'o que, en general, no
existe ninguna integral primera adicional uniforme en el
par\'ametro de perturbaci\'on salvo el propio Hamiltoniano.
Esbozaremos las ideas principales del m\'etodo de prueba y
comentaremos algunas extensiones y generalizaciones.
\newpage
\item
16:30. Chara Pantazi. \emph{El M\'etodo de Darboux}
\medskip
{\bf Resumen.} Darboux, en 1878, present\'o su m\'etodo para
construir integrales primeras de campos vectoriales polinomiales
utilizando sus curvas invariantes algebraicas. En esta
exposici\'on presentaremos algunas extensiones del m\'etodo
cl\'asico de Darboux y tambi\'en algunas aplicaciones.
\medskip
\item
17:30. Pausa
\medskip
\item
18:00. Juan J. Morales-Ruiz. \emph{M\'etodos recientes para
detectar la no integrabilidad}
\medskip
{\bf Resumen.} En 1982 Ziglin utiliza la estructura de la
ecuaci\'on en variaciones de Poincar\'e (sobre una curva integral
particular) como una herramienta fundamental para detectar la no
integrabilidad de un sistema Hamiltoniano. En esta charla se
pretende dar una idea de esta aproximaci\'on a la no
integrabilidad, junto con t\'ecnicas m\'as recientes que
involucran la teor\'{\i}a de Galois de ecuaciones diferenciales
lineales, haciendo \'enfasis en los ejemplos m\'as que en la
teor\'{\i}a general. Ilustraremos estos m\'etodos con resultados
sobre la no integrabilidad de algunos problemas de $N$ cuerpos en
Mec\'anica Celeste.
\end{itemize}
CitacióNotas del primer seminario de integrabilidad de la Universitat Politècnica de Catalunya. Primitivo B. Acosta Humánez, editor. Barcelona : Universitat Politècnica de Catalunya, 2005.
Fitxers | Descripció | Mida | Format | Visualitza |
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noinupc.pdf | 579,4Kb | Visualitza/Obre |