Aproximación del problema de Stokes mediante elementos finitos mixtos de tipo cross-grid

Abstract

En esta comunicación introducimos una familia de métodos de elementos finitos mixtos para la resolución numérica del problema de Stokes en dimensión 2. En estos métodos, la presión se interpola en una malla de elementos cuadriláteros, mientras que la velocidad se interpola en una malla de elementos triangulares obtenida subdividiendo cada cuadrilátero en cuatro triángulos por sus diagonales. Se consideran entonces interpolaciones de grado k para las velocidades y grado l para la presión, siendo k ≥ l ≥ 1. Por todo ello, estos elementos se han denominado de tipo cross-grid PkQl (ver [3]). Se presenta un análisis numérico de la estabilidad de estos métodos para elementos rectangulares, basado en la técnica de los macroelementos de Stenberg (ver [4], [5], [6]), y se analizan en particular los casos de orden menor, P1Q1 y P2Q1. En el primer caso, se demuestra la existencia de un modo espurio global para la presión, de manera que este elemento no es estable. En el segundo caso se demuestra la estabilidad del método, y por tanto su convergencia óptima. Se presentan también resultados numéricos obtenidos con estos elementos en varios casos test, tanto con mallas de elementos rectangulares como de cuadriláteros generales. Dichos resultados confirman la existencia del modo espurio de presión para el elemento P1Q1 y la estabilidad del elemento P2Q1.