Perturbación de los valores propios simples de matrices de polinomios dependientes diferenciablemente de parámetros

Abstract

Sea P(¸) = Pk i=0 ¸iAi(p) una familia de matrices polinomiales m¶onica dependi- ente diferenciablemente de par¶ametros reales. Las matrices polinomiales aparecen de fPorma natural asociadas a los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de la forma k i=0 Aix(i)(t) = f(t). De especial relevancia es el caso de los sistemas diferenciales lineales de segundo orden, ya que aparecen en muchas aplicaciones de ingenier¶³a. En este trabajo se estudia el comportamiento de los valores propios de una familia de matrices polinomiales m¶onicas, P(¸), obteniendo f¶ormulas expl¶³citas describiendo el comportamiento de los valores y vectores propios correspondientes, en funci¶on de los par¶ametros. El estudio de la variaci¶on de los valores propios de una matriz polinomial, depen- diente diferenciablemente de par¶ametros, es, por sus m¶ultiples aplicaciones, de gran inter¶es. La teor¶³a de perturbaciones de valores y vectores propios de matrices cuadradas est¶a bien establecida. En este trabajo se extienden, a las matrices polinomiales, algunos de estos resultados. El resultado obtenido es un punto clave para los estudios de estabilidad, ya que permite analizar las singularidades en la frontera de la estabilidad. Es bien sabido, que el estudio de la estabilidad, para muchos problemas mec¶anicos y sistemas de control, se reduce al an¶alisis de valores propios de la matriz polinomial asociada a la ecuaci¶on diferencial.